总体均值的区间估计优化

总体分布为不同情况以及抽取样本为大小样本时，总体均值的置信区间都会有所不同，下面我们针对不同的情况来具体分析。

1）正态总体、方差σ2已知，或非正态总体、大样本

根据区间估计的定义，可构造均值μ的置信区间。对于给定的显著性水平α，可令

即有

从而有即总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间为：

如果正态总体或总体不是正态分布，但抽取样本为大样本（n≥30）时，总体方差σ2未知，根据样本方差是总体方差的无偏估计量，以样本方差s2代替总体方差σ2。这时，总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间为：总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为

【例5.2】　某厂生产A零件长度服从正态分布，且总体标准差为8cm。每天的产量大约为5000件，按规定每件零件的长度应为80cm。为对零件长度进行监测，质检部门经常要进行抽检，以分析零件是否符合要求。现从某天生产的一批零件中随机抽取了16件，测得每件长度见表5.5。

表5.5　16件零件的长度/cm

试估计该厂生产A零件平均长度的置信区间，置信水平为90％。

因此，总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为即该厂生产A零件平均长度在90％置信水平下的置信区间为79.15～85.73cm。

用Excel中的“NORMSINV”函数求标准正态分布的分位数值如下：

第1步：进入Excel表格界面，直接单击“f（x）”（粘贴函数）命令。

第2步：在函数分类中单击“统计”，并在函数名菜单下选择字符“NORMSINV”，然后单击“确定”按钮。

第3步：在出现对话框的“Probability”栏中输入“0.05”，得到－1.64485。

【例5.3】　一家保险公司收集到由49个投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄（周岁）数据见表5.6。试建立投保人平均年龄在置信水平为95％的置信区间。

表5.6　49位投保人年龄的数据/周岁

解　已知大样本总体方差未知时，用样本方差代替总体方差，样本均值服从z分布，又因为n＝49，1－α＝95％，查表得zα/2＝1.96。根据样本数据计算得

所以总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为

即投保人平均年龄在95％置信水平下的置信区间为37.22～41.38岁。

小贴士

通常情况下，当用原始数据构建总体均值μ的置信区间时，置信区间的计算结果应保留的小数点位数要比原始数据中使用的小数点多一位。当不知道原始数据时，置信区间的计算结果保留的小数点位数应与样本均值使用的小数点位数相同。

2）正态总体、σ2未知、小样本

若正态分布总体方差σ2未知，抽取样本为小样本（n＜30）时，可以样本方差s2代替总体方差σ2。根据样本抽样分布，其服从自由度为n－1的t分布。记为

因此，需要采用t分布来建立总体均值μ的置信区间。这里需要介绍一下统计学3大分布之t分布。t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称为自由度的参数。当n→∞时，t分布趋近于标准正态分布。实际应用中，当n＞30时，t分布可用标准正态分布近似。图5.7给出了不同自由度的t分布与标准正态分布的比较图。

图5.7　不同自由度的t分布与标准正态分布的比较图

给定置信水平为1－α，可查t分布表确定临界值tα/2（n－1），使得t的取值在（－tα/2（n－1），tα/2（n－1））区间的概率为分布1－α，即

总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为

【例5.4】　已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取25只，测得其使用寿命（h）见表5.7。建立该批灯泡平均使用寿命90％的置信区间。解　已知X～N（μ，σ2），n＝25，1－α＝90％，查表得tα/2＝1.711，根据样本数据计算得：

表5.7　25只灯泡的寿命数据/h(www.xing528.com)

则总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为即该种灯泡平均使用寿命90％置信水平的置信区间为1493.86～1510.14h。

用Excel中的“TINV”函数求t分布的分位数值如下：

第1步：进入Excel表格界面，直接单击“f（x）”（粘贴函数）命令。

第2步：在函数分类中单击“统计”，并在函数名菜单下选择字符“TINV”，然后单击“确定”按钮。

第3步：在出现对话框的“Probability”栏中输入“0.1”，在“Deg＿freedom”栏中输入自由度“24”，该函数自动返回tα/2的值得到1.710882。

小贴士

有了总体均值的置信区间，当已知总体单位N时，要对总体总额进行估计，只需将总体均值的置信区间乘以总体单位数目就可得到总体总额的置信区间了。