数值型数据的平均数优化方法

平均数是用于反映所有数值型数据的一般水平。根据计算方法不同，有算术平均数和几何平均数之分。平均数表明所有变量值的集中趋势，受极端值的影响，它是集中趋势的最主要测度值，主要用于数值型数据集中趋势的测度。

1）算术平均数

算术平均数是统计中最常用的一种平均数。计算算术平均数的基本公式为

例如，某工业企业某月某职工工资总额为100万元，职工总数为800人，则该企业职工月平均工资为1000000元/800＝1250元。在实际工作中，由于资料的表现形式不同，算术平均数可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。

（1）简单算术平均数

【例4.4】　根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。

即10个家庭平均住房面积为94m2。

（2）加权算术平均数

加权算术平均数（weighted arithmetic mean）主要用于数据已经分组，并编制了频数分布表的条件下。先将各组标志值乘以相应的各组单位数（频数），求得各组标志总量后相加求得总体标志总量，再除以总体单位总量即求得加权算术平均数。设原始数据被分成k组，各组的组中值为x1，x2，…，xk，各组变量值出现的频数分别为f1，f2，…，fk，则均值的计算公式可写为

【例4.5】　假定在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果见表4.2，计算50个家庭的平均住房面积。

表4.2　某城市50个家庭住房面积均值计算表

代入式（4.5）得

从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值xi大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数fi大小的影响。如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么，该组数据的大小对均值的影响就越大；反之，则越小。实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。

2）几何平均数

几何平均数主要用于计算比率或速度的平均值。当掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。

◎定义4.5：几何平均数（geometric mean）是若干个变量值的连乘的n次方根，用Gm表示。

（1）简单几何平均数

简单几何平均数是n个变量值乘积的n次方根，计算公式为

式中，G表示几何平均数；Π为连乘符号。

【例4.6】　一位投资者持有一种股票，在2010，2011，2012和2013年收益率分别为4.5％，2.0％，3.5％，5.4％。计算该投资者在这4年内的平均收益率。(www.xing528.com)

解　根据几何平均数的计算公式得

即该投资者的年平均收益率为103.84％－100％＝3.84％。

（2）加权几何平均数

对于每个变量值的次数不同的分组资料，采用加权几何平均数。其计算公式为

【例4.7】　某商业银行某笔投资是按复利计算的，其10年的利率分别为：开始的4年为3％，随后的2年为5％，接着3年为10％，最后1年为15％。要求计算平均年利率。

解　根据式（4.8）计算几何平均数得

即平均年利率为106.63％－100％＝6.63％。几何平均数适用于具有等比或近似等比的数列。但如果变量值中有0或者负数，计算结果将失去意义。