反复斟酌线上和线下教学的优缺点之后，不禁会思考如何充分利用线上和线下教学各自的优势，设计出融合教学的方法。比如，是不是某些学习模块转移到线上进行学习的话效果更佳？是不是某些探究活动可以转移到线上？如果某些知识内容的讲解在线上进行，又如何与线下教学衔接融合呢？是不是某些作业的递交和批改可以转移到线上？等等。
然而，转移不是简单地“搬运”，它是需要前期设计的。各个学科都有着自己的特点，因此设计上会出现不一样的情况，就算是一门数学学科，对于不同的模块的内容，也要审慎处理，没有一个千篇一律的良方，需要设计线上线下融合教学的不同方案。
以国际文凭课程（IB）应用与解释（Applications and Interpretation）的数学课程中微积分的一个章节：《微分方程的图解》为例，尝试进行线上线下融合教学。
（1）教学的总体思路
这一章节的主要内容是在微分方程的分析解法后，提出图解微分方程的办法，其主要内容包括：斜率场的作图方法；根据斜率场作出特殊解的图像；理解斜率场与微分方程的关系；等斜线的概念；根据等斜线作出特殊解的图像，等等。
如果是常规线下课程按照两课时来处理，可能的教学方案如下：
表6-1 《图解微分方程》常规线下课程安排的可行方案
在常规的线下课方案设计中，教师按照知识点顺序：先斜率场，后等斜线的方式进行讲解，两节课均在需要时使用技术处理，这样的方案本身是无可非议的，完全可以操作。如果换成线上线下的融合教学，如何处理呢？根据主要内容和教学目标，融合教学着重思考哪些部分放在线下教学效果更好，哪些放到线上进行教学效果更好。
笔者在线上线下融合教学的实践中，对以上新授课内容的顺序根据线上线下的特点进行重组，得到该部分内容的课时分配和授课思路如下：
表6-2 《图解微分方程》融合教学可行方案
通过以上课时分配和学习顺序的安排，力图根据本节课的授课内容，最大化线上和线下各自的优点，并保证学习衔接的流畅性。在第一课时的安排中，需要手动作图帮助学生理解，这在线上平台也可以做，但因为同时使用技术操作，老师的注意力主要在于使用技术把图像尽量画好，自然会缺少对学生眼神的关注，对于学生的理解和难点的把握相比线下会缺失一些，自然地把这些部分放在线下课的第一课时进行，从而能够充分利用线下课老师对于学生学习状态更为关注的优势。余下的内容在线上上课中更容易分享、互动和共同操作，因此选择了在线上进行第二课时。
与此同时，课程的安排还考虑了知识点和应用的先后顺序。因此，有关概念的讲解的新授内容部分均放在了第一课时（线下），而使用电脑进行深度探究或进行评价的部分放在了第二课时（线上）。这种方案有点类似于电脑课的新授内容理论课和上机实操两部分。
诚然，第二种融合教学方案的特点也是非常明显的，它整合重组了教学内容，节省了上课时技术和板书来回切换的时间，上课的方式更加灵活，教学手段更加多样。学生和资源为学习主体的总体教学思路更加明显，因为在线上教学过程中，老师的展示感减少，师生的共同探究感增强，特别是学生动手操作的参与感更加强烈，这些在下文有更多的细节予以体现。
（2）融合教学的细节
①线下课部分
在讲解完斜率场的概念后，可采用如下例题进行示范：[4]
例1：为微分方程
作斜率场图。
图6-11 例1图
在学生初步了解了作图方法后，可以进行一些个人练习。在手工绘图的过程中，学生一定会体会到手工作图的局限性，因为它无法实现大规模作图，从而为下一节线上课做好了铺垫。然后，教师开始讲解“初始值”问题，比如下面的例子。
例2：一个微分方程的斜率场如图6-12所示，请在图6-12上作出通过（0，－1）这一点的特殊解。
教师在讲解过程中，需要进一步帮助学生理解如何画出这条曲线；为什么这条曲线就是微分方程的解；为什么微分方程未知的情况下，仅凭斜率场即可求解微分方程这一系列可能学生感到困惑的问题。答案如下图：随后，教师安排一些类似的练习题，帮助学生巩固概念和技能。
图6-12 例2图
图6-13 例2答案
在斜率场作图这一部分完成之后，进入等斜线的讲解部分。首先向学生介绍等斜线的概念，然后，尝试使用等斜线的概念作出满足初始条件的微分方程解的曲线。
例3：根据微分方程
的等斜图，作出通过（0，1）这一点的特殊解曲线。
图6-14 例3图
在讲解过程中，需要帮助学生进一步强化对等斜线的理解，一般对于y-轴右侧比较容易作出图像，而左边缺少条件（需要更多的等斜线）。在补充等斜线之后，y-轴左侧也比较容易出错，需要耐心讲解。
图6-15 例3完整等斜线图
结果如下：
图6-16 例3答案图
接着教师可以给出一些练习进行巩固。(www.xing528.com)
以上即为“微分方程图形解”这一章节设计的线下课部分的主要内容。在教学过程中，教师需要进行充分的手动计算和演示，还有些推理的讲解，这些教学活动在线下进行效果比较好，效率也比较高。
线上课部分需要充分利用互联网，充分调动学生使用技术进行数学探究，引发他们的兴趣，为此，带领学生线上一起探索如何使用Geogebra软件实现斜率场的大规模作图，毕竟手工作图非常耗时、有限且并不精确。
图6-17 使用Geogebra软件获取例3结果
首先，可以和学生一起回顾第一节线下课所学的内容，特别是可以通过软件把第一课时的例题进行一些验证，比如对例3结果进行验证，软件结果如图6-17，它与昨天手绘答案的形状是类似的。
通过这个在线应用程序，可以改变微分方程和初始值，做一些学生亲自动手的在线练习并立刻与技术给出的答案进行比对，体现技术使用的优势。激发学生好奇心后，开始与学生一起探索如何使用Geogebra软件绘制斜率场图和等斜线图。图例如下：
图6-18 使用Geogebra作出例3的斜率场
图6-19 例3的等斜线图
以上使用软件的探究需要操作电脑软件，并且要求学生同时操作，因此，在线上进行教学可以放大细节，师生使用网络随时可以切换并共享屏幕进行交流，比线下老师单独操作电脑、学生观看或者学生自带电脑而言，教学效率更高。
在差不多玩转了使用Geogebra软件和应用程序进行斜率场和等斜线的作图后，鼓励学生继续挖掘软件的特点，自行设计更方便使用的应用程序。接下来，设计一次网络抢答竞赛，以巩固线下教学的成果。对于这一章节，可以设计成抢答题的知识点有很多，常见的是各类匹配。
学生在网上进行抢答的方式有多种，可以使用在线语音进行，也可以使用网络会议软件的书面交流功能，丰富多样，还可以适度地采取一些表情包和虚拟礼物等功能来活跃课堂气氛，这些是线下教学无法实现的学习体验，值得尝试。
下面为一些本节可以用来抢答和讨论的例子，教师在活动中一方面关注学生答题情况，另一方面见缝插针地进行薄弱环节的讲解，特别是要注意帮助那些答题有困难的学生。
例4：哪个微分方程有如下的等斜线图？
图6-20 例4图
A.y′＝y＋x
B.y′＝y－x
C.y′＝－x
D.y′＝x
除了设计抢答题外，还可以尝试让学生通过软件作出斜率场图或者等斜线图后，在上面手动画出最优解，增加网络课堂的趣味性，提高学生参与课堂的程度和信息技术素养，比如下面这个例子。
例5：作出微分方程y′＝2x 2－y的斜率场图和等斜线图，并在图上手动画出多条微分方程的解的图像。
通过软件或应用程序可得到如下斜率场和等斜线图：
图6-21 例5图
然后可以在屏幕上使用网络会议软件的作图功能绘制多条特殊解的曲线，手绘效果如图6-22。
总之，通过一系列线上互动和软件的使用，可帮助学生提高学习兴趣，提高动手的能力，也提高了信息技术的使用能力，数学课堂不显得死板，帮助学生发现学习数学的乐趣，这也符合青少年学习的规律。
图6-22 例5图像解
另外，在线课堂课时中鼓励学生思考所学知识的应用，他们可以随时上网查阅资料或进行分组讨论，这也提高了效率。常见的斜率场和等斜线图的应用出现在物理学科中：
图6-23 电磁场中的等势线[5]
图6-24 物体的势能由图中斜率表示[6]
根据在线教学的特点，教师还可以在网络会议平台上直接搜索相关应用，展示网络知识信息搜索的办法。比如可以通过控制关键词和文件格式的方式搜索到更多相关的信息和学术文章。比如，斜率场和等斜线的知识可以用来为猎物模型（Predator-prey）服务，教师可以提供拓展资源包供学有余力的学生继续研究，也可以让学生自行通过网络，练习搜索学术文章的能力。
表6-3 线上线下融合教学的工作时间估计（计一个教学班）
表6-3是根据笔者实施线上线下融合教学期间一个班级工作量的粗略测算，可以看出，一周有13.5—16小时的工作时间用于一个教学班的教学。对于在线课堂的授课时间，由于存在录制、完善视频的时间和资源包的逐步建立，对于在线课堂的准备工作花的时间比线下课堂的时间花得更多。
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