观察之三：数学教学的优化方法

（1）小学与初中

下文就一些特别的教学方法或教学现象进行分别阐述。

①站点轮换教学

“工作站轮换”是最流行的混合学习方法之一。数十年来，教师一直在课堂上使用学习活动“中心”，尤其是在小学阶段。“站点轮换”教学主要是为了帮助学生切换兴奋点，学习的兴奋点维持时间长，同时有利于教师个别了解学生学习的进度。在Lab School初中听一节数学课的时候，老师设计了五个不同的站点，其中有两个站点是需要全体学生解答的数学问题，还有三个站点分别是：数学字谜，最小公倍数的应用，巧克力羊羔——使用“猜和想”的办法解决数学。

图5-6　芝加哥大学附属实验学校初中部的数学老师给学生设计的个性化学习站点

站点轮换在小学的课堂上使用得更加普遍。在参访的好几所小学的数学课堂上，教师在使用轮换站点的方式组织学生学习。在小学阶段实行站点轮换，特别能够帮助课堂达到更好的效果，有时候站点学习的小空间也同时解决了教室空间小，设备不足的问题，孩子获得的教师个别指导的机会更多。

②在课堂中插入游戏或放松身心的环节

在Brook Forest Elementary School，数学教师布置作业是使用一个电脑的随机软件决定布置哪道作业。在Napaville 203高中的一堂荣誉代数的数学课上，因为课程时间较长，数学教师让学生站起来与同桌做了个快速的石头剪刀布的游戏，以缓解他们的疲劳，也增加学生之间的情感联系。无独有偶，在芝加哥大学附属实验学校的初中，我们旁听了一节7年级的数学课，教师在讲解方程和不等式。让我印象深刻的是，教师会偶尔让学生站起来进行一次学生间的互动。比如，在解释不等式的解和数轴上的方向时，让学生站起来一起指向不等式方向的游戏，看有没有人动作指反了。学生在听了一会课之后，教师又让大家站起来，互相说：你好，今天很高兴遇到你！然后大家继续坐下来学习。跟教师简短沟通之后，知道她是考虑学生坐的时间比较久了，让他们稍微活动一下，一方面放松，一方面让他们跟同伴多一次交流的机会。这些小细节给低年龄段的数学课平添了几多欢乐，也体现了一定的“社会情感学习”和对学生的关爱。

③强调“做中学”

在Baker Demonstration小学，数学教师安排学生去测量学校的建筑物高度，从而学习三角学的知识。另一个有趣的例子是，一所小学4年级的数学课使用一场长1 150英里的拉雪橇犬比赛的实时数据计算时间和距离。课上，教师引导学生理解和应用时间、速度、路程的概念。学生们需要提前关注电视对这场比赛的报道，通过网络关注不同狗抵达站点的时间和排名，关注游戏规则（比如，在某个站点需要休息24小时），同时运用知识进行比赛结果的预测。他们使用的不是虚拟数据，都是比赛网站上GPS的实时记录的真实数据。从学生表情和课堂活跃程度来看，学生的参与度非常高。课堂的最后，学生被两两分组使用电脑，互相讨论，并学习对方的计算和思维方法，从而对比赛结果作出一些预测，把预测结果发布在教师事先创建的wiki论坛上，教师事后可以看学生贴出的自己的预测结果，看结果是否合理，也让学生在比赛尘埃落定之后回溯自己的计算。教师说，这里的计算使用的都是真实数据，不在于谁对谁错，比赛中没有人有正确答案，重要的是学生们都能够积极地使用数学知识来理解自己的生活，得到一些合理的预测，并能够使用方法来解释自己的预测结果。

图5-7　使用拉雪橇的情境教数学

在课堂中，技术促进了学习的发生（GPS数据的使用），技术也促成了学习目标的达成（数字化地图上对度量的理解），技术同时还让学生的学习扩展到课外时间（跟踪了解比赛的数据，检验自己的预测），然而学生并不把它看成“负担”，而是一种生活中的“乐趣”。

在参观的93学区，203学区中，据学区长或校长介绍，如果发现有天赋的学生，他们会被校车接送到一个专门的地方（通常是学区里的某一所学校）去上“加速班”，以保证他们的学习需求得到满足。另外，如果有迹象表明学生在数学上表现欠佳，数学专员教师会走进课堂，采取pull out（带出教室）或push in（走进教室）的形式帮助学生巩固和理解课堂所学的知识。

实地走访中，笔者观察到，在203学区的初中数学课堂上，学生在上课做完教师布置的题目之后，可以去IXL平台进行自己的个性化学习。

布鲁克森林小学是一所蓝带小学，它位于相对富裕的学区，学生群体同样显现出很大的多样性，因此，学校还是非常重视根据学生的情况进行个性化的指导。首先，一些学生有“特殊需求”。那么学校是如何定义“特殊需求”学生的呢？一般来讲，教师通过学习测试软件和课堂教学进行诊断测试。他们发现的问题可能是阅读障碍，可能是数字的加减法不会，等等。美国有一个规定（因州而异），那些需要特殊教育的学生一年内需要得到一定时间的帮助，3年一个周期后，再评估学生是否还有这样的需求。因此，这所学校有阅读专员和特殊教育专员。在课堂上，2—5个孩子形成一个个小组。教师把相同需求的学生放在一起。通过分析各类数据：有的是熟练度问题、单词问题、理解问题，有的是阅读障碍问题。一般是push in（推门进班），有时候看孩子的具体情况会pull out（对学生进行单独辅导）。比如，这所学校的数学课已经产生了不同形式的个性化教学，数学课有了三级分层（on the grade，above the grade，advanced learning program）。教师会在可汗学院创建班级账户，输入学生的MAP分数，学生有了自己的账号，进去之后看到自己需要练习的技能。在课堂的最后10分钟，学生根据自己的情况，或者使用可汗学院进行自己的练习，或者直接进行传统的数学练习。

蓬勃兴起的各类学习管理系统和信息工具，如Canvas，Blackboard，Moodle，Google Classroom，Microsoft Team，Adobe connect等，把学习的时空无限延展，学习的发生不再受限于时间和空间。

⑤强调学生的学习主体地位，并注意概念的学习和术语使用的准确性

在芝加哥实验学校初中部的一堂9年级的平面几何课上，一位高年资教师并不是满堂灌，而是经常邀请不同的学生上台讲述自己的理解，在同学讲述的过程中，教师一直认真倾听，不时点头，发现问题后及时帮助学生纠正他们口头使用的术语，如内错角，同旁内角，等等。教学的步骤也是按部就班，教学过程中注意学生批判性思维的培养。这节课是平面几何，但教师稍微引入了一些空间的概念，帮助学生从全貌理解知识点。比如，教师提了一个问题：两条直线同时垂直于一条直线，那么这两条直线平行。问学生是否正确？这就跳出了本堂课原本的教学范围，但这个问题问得非常及时。图5-8是教师当场用简易的教具帮助学生理解异面直线。事后，笔者与该教师确认，他们确实只是在上平面几何课。

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图5-8　芝加哥大学附属实验学校初中部老师解释“异面直线”

笔者走访大量学校后发现：低年级阶段的教师在课堂中或课后大量使用在线网络教学资源，而年级越高，教学过程本身使用网络资源的比例相对减少很多，主要依靠教师的亲身演示。使用网络资源，其优势在于资源的丰富性，可供学生自主学习使用；其劣势在于教师可能成为资源的调配者，特别是对于数学教师来说，自身的专业能力可能会不知不觉中弱化，当然，这也要看实际情况和老师自身的调适。

（2）高中

高中与初小阶段学生相比，学生基础和能力的分层更加明显；同时更加凸显态度、兴趣和能力为主导。高中数学课程的知识点是为高等数学打基础的，难度逐步增大。换句话说，考验学生学习方法、学习能力、学习潜力的时间点已经来临，这些因素在数学学习中的作用显得更加突出。

对于参观过的美国部分高中数学的教学，观察到下述现象：

①课堂整体氛围比较自由，部分课堂甚至缺乏基本的规范。在教法上相比初中似乎有些淡化，没有那么多“花头”。比如，笔者走访的高中课堂中从没有见到“轮换站点”等教学方法，遇到的几乎都是国内比较熟悉的教学方法，讲授型偏多，上课即做题的感觉也比较明显。笔者仅在一些公立高中（如Noble Chapter School）看到了Pull out（带出教室）。

②部分教师的做法很有新意，值得借鉴。比如一位教师使用Desmos软件教函数的作图，并把函数与音乐联系起来，现场播放了函数产生的音乐，令参观者大开眼界。在芝加哥203学区，一位教师采取同伴合作的方式让学生学习图形计算器求解微积分。旧金山一所公立学校要求每一位教师把课堂目标通过blackboard configuration的形式写在黑板上。

③缺乏及时的评价和反馈。从看到的美国几十节中学数学课堂来看，数学课堂上对学习效果的反馈较少，有时候练习完题目之后，教师甚至并没有跟进检查，课堂结束时也没有收集学生的作业。国内的数学教师在作业布置与反馈方面比较频繁。训时，培训师一般都会提供大量的教学课件资源，在Youtube上也可以见到包括微积分、统计在内的教学视频。

图5-9　笔者在美国高中数学课堂上辅导学生使用图形计算器

图5-10　线性代数课实录

⑦随着互联网的发展，混合式学习模式也在一些美国的学区陆续崭露头角，这里以Naverville 203学区的一所高中为例。在伊利诺伊州的Naperville Central高中，学校于五年前开始设计和准备混合式学习，三年前开始在部分课程中采用混合型学习方式的实验。这种混合型学习方式很大程度上依赖于信息管理平台发布资料、布置作业、递交作业和进行评价，每周有两天的课程不上，把这部分时间交给学生按照自己的节奏进行自学。学生自愿报名，老师也是自愿加入实验班行列。

笔者有机会与一个数学混合式学习实验班的师生进行了20分钟的交流。交谈中，教师向我们介绍，全校一共30名数学教师，其中有8名教师自愿申请选择开设混合式学习实验班。最终，该校数学课程中有30%的课程以混合式学习的形态出现，其中包括：代数、几何、微积分初步等。学生向我们介绍，在这所高中，参加混合学习课程的学生每周将参加两至三次课堂学习，每周剩余的课程期间进行独立的学习活动。一名学生在发言中说，她将来一直要选混合式学习的实验班，这种模式让她的学习更加以自我为导向，符合她的个性化学习的习惯。

另外，该校校长给我们展示了部分统计数据，全校2 790名学生中，有722名学生至少上过一次混合式学习的实验班。三年下来，参加实验班的学生反馈良好，学校也进行了数据的收集和统计，从各类考试的结果统计分析来看，混合式学习实验班与其他班级没有差异，甚至有的实验班的表现比对照班级更好。

查询该校官网得知，该校鼓励所有学生在高中时参加至少一门混合或在线学习形式的课程。学校认为：混合学习课程将传统的面对面学习与在线独立学习结合在一起。这种结合为学生提供了更高的学习的灵活性，使其能够达到课程的学习要求，并使得教师更容易调整教学内容以满足每个学生的不同需求。课堂学习和独立学习时间的结合使学生可以更好地控制自身完成课程的步伐、地点和途径。

笔者还浏览了该校一位数学教师为学生设计的网上混合式学习空间，发现空间内有教学视频、在线应用程序探索、网上练习等多种学习体验的机会。

据估计，2016年的一次测算表明，在美国超过400万的K-12学生参加某种形式的在线教育，例如在传统的公立学校参加在线课程，参加混合学习计划或就读完全虚拟的在线特许学校。美国50个州中的48个州以及华盛顿特区为学生提供了某种类型的在线学习机会。事实上，研究证实混合学习正在上升：一半以上（54%）的低收入美国人说他们会更有可能将孩子送进提供混合学习的学校，将近70%的学区在其学校提供混合学习模型。^[14]

图5-11　NCHS学校一名教师建设的混合式学习网站