近观美国数学基础教育：深入了解管中窥豹

笔者有幸于2019年在美国的中小学进行了2个月的近距离观察，期间重点对基础教育信息化和中小学数学课程、教材、评价等情况做了实地了解。另外，也有机会与美国大学教授、中学校长、教师、公立学区长等教育界人士进行了交流。

看待美国的基础教育，离不开对美国教育文化、社会现实、价值取向，以及时代因素和政府因素的整体考量。缺少对其中一个因素的考虑，都会产生“盲人摸象”的效果。

从教育文化角度来讲，美国人注重生长和发展的“自然”过程。以杜威为代表的实用主义教育家反对传统的灌输和机械训练的教育方法，主张从实践中学习。提出“教育即生活，学校即社会”的口号。杜威的教育理论强调对外界事物的本质的理解以及通过实验获得知识，对美国基础教育体系产生了很大影响，这也使得在美国的教育体系下，有可能出现“大器晚成”的人才，如2019年诺贝尔化学奖得主John Goodenough教授。

从美国社会现实和价值取向的角度来讲，美国的社会体系是自下而上，教育部的主要职能仅仅是为学校和学区提供服务，制定宏观层面的引导性文献。为提高基础教育的质量，由美国总统签署的《州共同核心标准》也只是个倡议，并不是官方的强制性文件，也确实有若干个州未选择采用该标准。各州的学区长受到由选民选出的学区董事会（包含家长）的监管，行政层面的管理人员无权过问。当地房产税使用开销的最大花费在于公立学区的运行，政府提供的公立基础教育都是免费的。从公立学校的构成来看，很多非富裕学区的学校的主要生源来自经济条件一般，甚至极其困难的家庭，有的学生在学校使用免费电脑和免费午餐，但无法在家里使用电脑上网完成作业。大部分孩子的目标是能入读本州学生收费较低的公办州立大学，而不是学费高昂和其他开销巨大的藤校和精英大学。众所周知，美国是一个“贷款国家”，其中学生贷款占据了很高的比例，比如，2018年第一季度，美国未偿学生债务达到15 210亿美元，首次达到1.5万亿美元。截至2019年9月，美国学生贷款总额已达到1.6万亿美元，预计到2022年将增至2万亿美元，超过信用卡和汽车债务。近30%的学生贷款借款人拖欠贷款或违约。大约17%的2018届毕业生背负着私人助学贷款，高于2016年的14%，这些贷款的利率可能高达14%。2018年美国的大学毕业生中，三分之二的人曾经为学业贷款，他们毕业时人均负债29 200美元，超过2017年的28 650美元，创历史新高。^[1]在美国的私立学校，家长的经济条件一般较好。美国1—12年级公立学校约占74%左右，大部分学生在公立学校读书，表5-1来自美国政府教育统计数据的权威网站，给出了美国的各类学校数目的数据。综合美国社会现实和价值取向，美国大多数普通家庭习惯地认为学习是孩子个人的事情，家长群体对孩子学业的焦虑感和进入高端学校或名牌大学的紧迫感处于相对平和的状态。

表5-1　美国1—12年级学校类型数据统计^[2]

从时代和政府因素来看，美国在两党执政的大背景下，经历了多轮教育政策和文件的轮番登场更迭，如《改进美国学校法》（Improving America's Schools Act）、《没有一个孩子落后法》（No Child Left Behind）、《州共同核心标准倡议》（Common Core State Standards Initiative）、《下一代科学标准》（Next Generation Science Standards）和《每位学生成功法案》（Every Student Succeeds Act）等，都试图对国家的基础教育加以引导，以提高美国人才的竞争力。随着人工智能和5G时代的到来，美国这个发明了互联网的国家对信息技术在学校的使用非常积极，各公办学区纷纷购买信息技术服务。政府倡导的“一人一台笔记本”的计划在公立中小学大规模铺开，保证了每一名孩子都能拥有一台手提计算机产品以供使用。对于贫困家庭的孩子，一些公益组织还有另外的对应赞助，比如著名的“一百万”计划。在这样的背景下，公立学校使用电脑技术的热情空前高涨，很多学区购买各种学习管理系统、软件、程序等以借用信息技术的力量提高个性化教学的程度和水平。

对于美国的数学基础教育，同样要全面地去看待。从考察团看到的伊利诺伊州和加州旧金山地区公立的小学、初中、高中，以及一些私立学校的情况来看，上课内容普遍比较简单。如果我们就来一次“盲人摸象”，可以草草地推断，美国基础教育阶段，总体来讲数学确实教的不难，私立学校也大致如此。但这些只是面向大众的学生。在私立学校，也能够看到线性代数和多元微积分等大学水平的课，公校高中的部分优秀学生有机会到社区大学或者名牌大学修读数学课。对于那些数学有天赋的孩子，一点都不会因为整体面上的容易度而耽误他们的发展。要看美国社会整体对数学教育的协同作用，也要看美国人对学习这件事究竟是如何看待的，也可以看美国大学的招生标准，更可以看孩子作为人的长远发展。

存在即合理。

有两个问题容易引起大家的共鸣：第一个问题是国内的高考在为国家选拔人才方面，起到了很重要的作用。与此同时，如何进一步改进高中数学课程内容和数学的教学方法？第二个问题，从实地观察来看，美国的高中数学知识不难，听说“反智主义”在一些阶层中比较流行，甚至在一些公立学校还比较突出，但为何美国的顶尖科技人才层出不穷？

国内的课程改革和高考改革是非常有力度的，特别是2018年颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》以“核心素养”为导向，为基础教育阶段的数学教育指明了方向，这个方向是非常明确和具有前瞻性的，我们对中国数学基础教育的良性发展充满信心。对于第二个问题，我们必须承认的是美国确实出了很多人才。然而一个普遍的疑问是，美国卓越的高等教育多大程度上是美国的基础教育支撑起来的？菲尔兹奖得主中有多少是在美式教育体系下成长起来的？美国数学奥赛国家队看起来是亚洲面孔偏多，不知他们是否一直是在美国从小学一直读到高中，确实是在美国或者是美式的基础教育数学体系下成长起来的？美国那么多诺贝尔奖得主中，多少比例成长于美国的基础教育？美国名牌大学数学系中，有多少学生来自美国本土，他们学得如何？……

由于各种原因，目前也没有找到以上问题相应的研究数据或者文献，也没有获得大数据的条件。上述的一些数据问题可能本身也有科学性或提法上的问题，但是，做些个案的分析，听听长期在美国生活和学习的学生、专业人士的见解总是有益的。笔者于2019—2020年期间非正式地采访了一些较为熟悉的人士，其中有些是在国内小初高成长后，在美国顶尖大学就读数学专业的人士；也有一些是在国内小初高成长，通过数学竞赛进入中国顶级名校就读本科，后在研究生阶段出国，最后在美国教育科技领域就业的；有些是在国内的国际课程中学习，进入美国顶尖大学后就读数学专业，并留在美国金融领域工作的，或者是在国内的国际课程学习后，进入英国顶尖的大学数学专业后再去美国就读研究生的，也有一直在美式高中就读后，入读美国顶尖的理工学院并以优异成绩毕业的。他们高中时期共同的特点是：在高中阶段都或多或少接触过数学竞赛，无论是国内的还是国外的。

与他们的聊天中，大部分都在聊美国的高中数学教育，自然涉及一些美国高等教育和国内的高中数学教育，笔者汇编了这些信息（或观点）。如下叙述中的部分，因为是直接引自被访谈者，以第一人称叙述，仅代表被访者的个人观点，可能有不妥或片面，但作为交流总是有益的，不吝提供，愿与读者共享与商榷。

（1）美国从国家层面重视数学天才的培养。比如，美国国家安全局（NSA）与AoPS^[3]联合做了一个“寻找天才”（search for talented students）的项目，通过这个项目可以直接进入美国数学奥林匹克邀请赛。美国国家安全局赞助了一个中学生数学竞赛，也是有点出乎意料。

（2）美国数理学者里面少数民族的比例较他们在人口中的比例要大很多。举个简单的例子，这里可以看到美国人口的姓氏分布：（见下页）

但是如果随便找一所一流大学的数理学科（如斯坦福大学计算机学系）的教师姓氏，会发现美国最常见的姓氏在这里几乎找不到。其实，这也是很正常的现象，因为数理类学科是跨国界的，你不需要对美国的国情和人文有深入的了解，一样能够很成功。

表5-2　美国常见姓氏分布（部分）^[4]

表5-3　斯坦福大学计算机系教师姓氏（部分）^[5]

（3）高中阶段的学科竞赛对选拔高端人才是有用的。

（4）美国一些普通中小学可能水准并不高，但是顶尖高中学生有非常多的机会接触学术项目。如果真正要有学术成果，考试成绩只是第一步，静下心来花很长时间研究一个问题才能够出成果。对于国内顶尖学府的学生，比如当年的我，大四才第一次做研究、写论文，当时完全不知道写论文是什么概念，怎么选题，怎么找资料，怎么找相关的学者咨询，都感觉很陌生。但是，在美国优秀的中学就有各种与大学交流的机会，优秀的学生很早就得到了正规的学术研究启蒙。

（5）美国中小学教的东西少，中国的学校教得很多，把小孩所有的时间都占用了，导致所有的小孩作息都差不多。但是，勒布朗·詹姆斯和李飞飞的高中时间安排为什么要一样呢？很多时候学校只有把必修的内容减少，选修的部分增多，并要给学生留够课余的时间，让专业人士来满足学生独特的需求，这样才能够真正做到因材施教。这也是美国的高中体育十分发达的原因，当然这也是全美一流的高中数学学生大多数都在AoPS交流的原因。有些武断地说，美国高中数学教学唯一的好处是没有占用学生太多的时间，如果教得又差，还把时间都占用了，那危害就太大了。

（6）数学学习这个问题确实挺复杂的，美国大部分人数学真的很差。进大学前，觉得提前学数学会有优势，但到了大学发现，有些人是到了大学，有了大学丰富的资源后突然学得很好。数学能走多远，与其说有天分，更在乎能有每时每刻追寻数学的兴趣。数学课上最厉害的人多数是美国人，而且其中少数才是高中有机会学超过AP的程度，他们中的大部分，中学只是读了AP课程而已。

（7）在高中阶段美国搞奥赛的学生，与中国内地重点高中参与竞赛的学生，所接受的训练模式基本相似，大家都会刷题，都会去看书，都会去那些网站比如AoPS论坛上面看奥数题。我上了一门很难的大学数学课，比如说Math25，我们的课上都是美国的数学比较好的小朋友。这些同学里面差不多有一半都是在高中搞过奥数的，参加过他们学校里的这种奥数集训的，或者去参加过USAMO，或者参加过AIME的这样的一群很牛的学生。还有一半人，他们其实没什么基础，他们在高中的数学课比较简单，他们可能有AP或者比AP再高一级，那是他们上过的最难的数学了。但相比我们高中的数学还是简单很多，他们当时在我们大学课堂上就比较辛苦，刚开始很多的东西不懂，但到后来他们的数学能力跟我们几乎一样，因为大学4年有足够的时间去跟上。尽管我们高中（内地的高中，笔者注）教的很难，但是这是很容易在大学4年里面去追赶的，因为我们高中数学再难也没有大学的数学难。所以那些基础不太好的学生起初可能会比较辛苦，但他们到了大三的时候，我观察下来，比如说数学分析，他们上课跟我的数学水平就类似了。这些原本没有读过比较深的数学内容的同学，他们可能愿意花更多的时间去跟教授聊天，因为美国的大学教科书还写得蛮好的，定义很清楚，哪怕你是零基础，你只要把这本书啃下来，这门课还是能上来的。当然也会有跟不上的，慢慢分流到数学的其他方向甚至其他专业去了。所以这其实主要是一个先学后学的问题，到了大二开始大家都要去学难的东西。大一只是有些人辛苦，有些人轻松一些。对于基础比较弱的学生，他如果能够大一生存下来的话，他到大二其实跟那些可能基础比较好的学生又到了同样的起跑线，反而是那些基础比较弱的学生，在大一开始就慢慢掌握了大学的学习方法和时间管理。如果因为基础比较好，大一时间主要靠高中打下的底子吃老本的话，到了大二新东西上来了，反而感到吃力。

（8）美国的基础教育有一部分很优秀的学生去了美国的很好（甚至顶尖）的公立或私立学校，这些顶尖的学校其实跟中国的学校差不多，他们也会有奥数教练，有小班，他们也会自己去看书，所以他们的数学学习经历和我是差不多的，我看的书他们也看过，我刷的题他们也刷过，比如说我当时看IMO历年20年的题目，他们那本书也看过，所以当时跟他们交流，觉得大家经历还是有点类似的，虽然我是中国高中，他们在美国高中也有很多类似的经历。

（9）大学数学系里面，对抽象概念的理解会比较多，通过刷题来学习的会比较少，那么大家其实又回到了同一起跑线。

（10）我的一位美国高校数学系的著名教授，上课时π值的两位小数都忘记了，但这并不妨碍他在数学方面有很深的造诣。他还说过，高中（泛指全球的高中，笔者注）学的数学基本上不是真正的数学。刚开始我对此不认同，后来学到大学四年级数学了，回过头来想一想觉得他说的似乎是对的。(www.xing528.com)

（11）国内高中基本上高一和高二时候已经把高考内容学的差不多了，后面一直刷题。一些省份学了微积分，却也只摸了个边，有点尴尬。其实应该给有兴趣的人在高三多学一点高等数学的东西，微积分、高等代数之类都可以，这对大学要学习数学或理工科专业的人很有好处。

一名加州理工学院信息与数据科学专业的美国学生，高中就读于美国一所普通的公立学校，本科毕业时在SCI期刊上以通讯笔者身份发表了一篇文章，笔者大致阅读了一下这篇文章，因水平有限，基本看不懂，但在文中看到了大量数学运算和推导。聊天中得知，因某种原因，他跳过了高中阶段的微积分预备的内容，如果参照现行高中阶段数学课程架构（全世界都差不多），他的数学基础是有重大缺失的。高中10、11、12年级选学的数学课程依次是一元微积分、多元微积分和微分方程。在学习微积分过程中遇到了一些没学过的基础知识在微积分中发挥作用，他只能根据微积分学习的需要，补习了一些缺失的知识点，特别是三角函数这一块。笔者于是给他看了几道国内高中数学三角函数的常见练习题看看他的反映，他自称“很难，都不会。但是，微积分也没怎么用那些三角变换的技巧”。他还称，身边的中国国内的朋友应该会做那些题，“他们现在还能背出半角公式”。“严重”缺乏高中三角函数的知识和技能似乎没有阻碍他在一所顶尖的理工学院就读了数学与计算机的交叉学科，并以优异的成绩毕业。他称，“在大学读书的四年，三角函数见到最多的就是在傅立叶变换中见到的正弦和余弦函数”。笔者于是询问，“如果时光倒流，希望高中数学还学了点什么”时，他说，“希望当时能多学一点统计、概率和矩阵的知识。”以上对话，是这名毕业生站在其个体的成长和所修专业的发展角度提出的个人看法，并非反映了高中数学课程的真正使命和教学目标，要带着审慎的目光去看待，一定不能全部信以为然，笔者本人也不认同其中的一些看法。事实上，无论是对基础教育阶段美式高中课程还是美国数学课堂的观摩，笔者都能看到很多可以改进提高的空间，包括系统性不够、严谨性不够，等等。然而，这段对话背后折射的一些东西还是可以引发我们的思考：第一，现代人的学习一定是终身的，这名学生学习微积分时发现缺失一些基础，再回去“补缺”的过程在人的学习中其实是很常见的，现代人大概率会在人生的某个时刻经历这样的学习模式。第二，全世界通行的高中数学课程所设置的内容是否都是数学的基础和精华，一点都不能动呢？已经有国内外人士对此提出了质疑（见下文扩展链接（3）（4））。第三，美国高中数学如果学得真的太“简单”，这名学生也能做到在高等数学领域不输于基础打得比他“扎实”的同龄人，是否说明了学习数学确实存在多种路径的可能？

此外，笔者访美期间有机会与斯坦福大学教育学院院长Dan Schwartz进行了约半个小时的面对面探讨，其中有部分内容是关于数学基础教育。他认为，为了考试而学习和完全不重视学习的效率，这两个极端都不好。在与伯克利大学James Demmel教授的交流过程中，关于学习，他只讲了两句话，大意是：“不要局限于学习现成的知识，要发现创造新的知识”，“要经常合作学习，学习是在合作中产生的。”^[6]

扩展链接：

（1）张奠宙对话陈省身：“我们的学生基础比较好，应当保持。然后注意创造性，使学生对数学发生兴趣，觉得数学好玩。我希望，中国的中小学课堂里能够走出一大批世界一流的数学家。”参见《数学教学》杂志，2011年第10期。

（2）为什么美国低水平基础教育，能支撑世界一流高等教育？作者：秦春华　来源：https：//zhuanlan.zhihu.com/p/45384592

（3）在美国国内，对于数学基础教育的批评不绝于耳，一些大学教授是中坚力量，他们力图对中学数学教学内容进行改革，尤其是要增加中学课程中关于数据科学的部分。如下链接https：//freakonomics.com/podcast/math-curriculum/以讽刺的口吻写到，“美国的高中数学课程早于现代计算机的时代，教育家和政策制定者是否可以相信该进行大检查了？”另据链接中的采访对象美国大学理事会主席兼首席执行官大卫·科尔曼（David Coleman）所述，美国高考SAT考试改革后，有20%的题目都是在测试考生对于数据的熟练度。

（4）黎景辉教授于2014年撰文指出了中学、大学数学教育整个知识链在新世纪要面对的一些问题和困难，其中很多建议有先见之明，部分建议已经在2017版《普通高中数学课程标准》中得以体现。文中，他还建议成立团队创建和支援免费数学教育软件来取代诸如Maple，Matlab和Mathematica之类的来自美国的计算软件。这在六年之后的2020年看来，当时他的预见是多么精准。“记得杨振宁先生的父亲杨武之教授说，民初中国大学数学系只是讲授三角、几何、二次方程。今日这些已是中学数学的标准课程。这就是研究者在这里所讲的：数学知识在这管里流着，以前是大学数学的内容，现在已经流到中学去了。同样，现在大学本科数学的主力课程是矩阵线性代数、欧拉·黎曼式微积分，微分方程是19世纪的数学，在21世纪是否可以把这些课程下移呢”？……“如果一个‘新’的数学成功了，继而引起工业技术的大革新，但我们的数学教育却没有适当地反映这些新潮流，以至自己的工艺又落后几十年！那大家的过失就大了！”参见《数学教育学报》，2014年2月刊。

（5）每年举办的普特南（Putnam）大学数学竞赛（美国和加拿大的大学本科学生参加）中，从获奖学生的姓氏可以看出，很多来自中国的学生获得大奖。上海中学本部屡屡有毕业生获得普特南学者奖，如2019年度获奖的来自麻省理工学院的张同学。上海中学国际部2010届IB课程毕业生丁同学曾经为他所在的加州伯克利大学赢得该校在普特南数学竞赛中的历史最高名次。

2019年普特南竞赛结果请参见如下链接：

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Putnam/2019/AnnouncementOf Winners2019.pdf.

美国的基础教育体系一般来讲，大致分为公立、私立两种，其中公立学校包括普通公立学校、特许学校和磁石学校等；私立学校包括普通私立学校，寄宿制学校等，还有些新兴的学校形式比如在线学校——作为对传统学校形式的补充。

笔者在两个月的访美期间，参观了芝加哥和旧金山地区几乎所有类型的学校，也特别关注了他们在基础教育阶段数学课程设置与教学。我们参观过的公立学校包括：

（1）布鲁克森林小学，它是一所伊利诺伊州Butler 53学区的联邦蓝带学校^[7]，学校服务于K-5年级约340名学生，师生比为1∶12。学校的理念是培养“完整的孩子”（whole child），满足各个孩子的学习风格和需求，并通过使用数据为学生设置学习目标、调整课程设置和改进教学实践。

（2）伊利诺伊州93学区初中Stratford Middle School，93学区小学Heritage Lakes Elementary School。这两所学校是公立学校，学生根据学区划分，实行就近入学。

（3）伊利诺伊数理高中（9—12年级），伊利诺伊州数学与科学学院（IMSA）是美国伊利诺伊州一所为期四年的住宿制公立高中，它是一所选拔性质的数理高中，所有申请人都要经过竞争性招生流程，包括成绩评估，教师评估，学生论文和递交SAT成绩。

（4）伊利诺伊磁石学校^[8]——莱恩理工预科高中（Lane Tech College Prep High School）。莱茵理工学院预科高中是位于伊利诺伊州芝加哥的一所一流的公立磁石学校。学校致力于通过提供科学、技术、工程、艺术、数学和世界语言等课程，为学生在学院和职业环境中的中学后教育做好充分准备。

（5）特许学校——Noble School学校，它是一所公立特许学校，通过摇号系统进入就读。

（6）旧金山罗威尔高中（当地著名公立高中）。

（7）旧金山赫伯特胡佛中学。

……

笔者考察过的私立学校包括：

（1）Baker Demonstration School，是一所幼儿园—初中8年级的学校。

（2）芝加哥大学实验学校（Pre-12），是芝加哥大学的附属学校，隶属于大学，于1896年由著名教育家约翰·杜威创立。杜威反对传统的灌输和机械训练的教育方法，主张从实践中学习。他提出教育即生活，学校即社会的口号。其教育理论强调个人的发展、对外界事物的理解以及通过实验获得知识，影响很大。

（3）斯坦福在线高中。

……

以上述学校为样本，结合文献研究、网络资源查找和当地教师访谈，笔者有心观察并记录自己的思考，虽然不免有失偏颇，但能够提供一定的视角，与读者共享。