使用电脑软件与Excel进行数学探索与实证

（1）作品简要介绍

学生M是一位学习认真并且善于联想的学生，她非常喜欢研究自己感兴趣的事情。她平时喜欢看电影，在观看一部叫做“Ark of Mr.Chow（少年班）”的电影时，对其中的一个问题产生了兴趣。电影讲述的是一位教师在全国发现并培养天才的故事，影片中有一个片段，教师向天才问了一个问题：如果有一段20阶的台阶，一个人在台阶的底部，如果每次只能走一个或者两个台阶，一共有多少种方法能够到达顶部？天才只是扔了五个硬币，然后很快就给出了答案。学生M对这一段非常疑惑，恰好在学习中涉及了排列组合的知识，于是她就想能够用自己的知识去解决这样一个问题。然而在解决这个问题的时候，学生M发现了解决这个问题的另一个方法——数列算法。她成功运用这两种方法解决了这个问题，并把问题进行了推广，完成了一部内部评价作品——Math in the movie“Ark of Mr.Chow”（“少年班”中的数学）。

（2）涉及知识要点

核心要点包括：通过运用排列组合知识分析解决现有问题，并联想到了数列算法，得出了一致的答案。当把问题进行一定的推广时，数列算法可以给出递推公式，但是难以通过递推给出通项公式，这时候通过把问题转化为“爬台阶问题”，可以用排列组合的知识给出通项公式。两个方法之间通过实际问题进行转化，可以求出一些递推数列的通项公式，等等。这些思想方法需要学生对基础知识的深刻理解，以及对数学模型与实际问题相互转化有良好把握。

（3）作品完成过程

在这篇作品完成前，学生自行发现身边有趣的问题，并尝试用数学去解释，及时与教师沟通。在发现了本篇内部作品的兴趣点时，学生得到教师的认可后，积极进行分析解决。在整个过程中，学生积极搜索资料，开拓求解思维，并积极联想，从而发现更有趣的数学问题。写作过程体现了学生良好的数学基础，解决问题的热情，不畏困难勇于探索的精神。(www.xing528.com)

在作品完成过程中，学生与教师进行了四次沟通，主要讨论了两种算法之间的等价性，递推数列的Excel算法以及应用软件求解相应数值等。每次讨论都可以看出学生对其所写内容有深刻的理解。

作品完成后，教师采访了学生。学生告诉教师，在一开始做的时候，她完全没有想到最终能发现这样一个有趣的计算数列通项公式的方法。她本来只想用排列组合去理清楚算法，并简单推广一下。然而，随着数列的引入，她的思路完全被打开了，她也真正地发现，数学知识不是孤立存在的，数学问题的解决角度也不是唯一的，变换思维能获得不一样的结果。由此可见，这部作品给学生留下了深刻的印象，同时也让学生真正体会到了数学知识的交叉性。

（4）教师评述

这篇作品属于偏向理论数学的内部评价作品，这类作品需要一定的数学基础，并非常见的作品，但是学生的成果值得称赞。首先，学生问题切入点很自然，从自身的兴趣中发现问题，并尝试用数学去解释，让纯粹的数学有了现实问题的依托，同时也展现了学生把实际问题数学化的能力。其次，学生多角度的思考与问题转化方式，让学生的初衷乃至整篇论文的中心发生了质的提升。从解决“用一步两步爬二十级台阶有多少种方法”这个问题，上升到“用一步两步爬n级台阶有多少种方法”，再上升到“用一步两步三步爬n级台阶有多少种方法”，最后上升为“用数列方法与排列组合方法去解决最后一个问题时，可以得到递推数列的通项公式”。问题的逐步提升不仅体现了学生思维的活跃性，也体现了学生在挑战问题升级过程中表现出来的数学能力与不放弃的精神。学生在整个过程中，使用了电脑软件与Excel去处理二元求和问题，并用两个算法去确认自己的公式。这一切都反映了学生谨慎仔细的研究精神。学生不仅解决了最后一个问题，而且发现了两种方法之间的等价性，同时上升到更一般的数学问题：涉及F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）＋F（n－3）这类递推公式时，可以通过转化为“爬楼梯问题”用排列组合的思想给出通项公式。学生在整个作品完成过程中表现出极强的实际问题数学化、数学问题具体化的转化能力。在完成这篇“数学探索”的整个过程中，学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学学科核心素养得到了非常好的培育，树立了敢于质疑、严谨求实的科学精神。