通过微积分实践测量沙漏速度与含沙量关系

（1）作品简要介绍

学生L在一次与同学聚会的餐厅中，获得了内部评价作品的灵感。因为该餐厅生意火爆，点完菜后会有一段等菜的时间，餐厅在每桌点完菜后就放了一个沙漏在桌上，如果在时间结束前，菜还没有上来，这一桌就能获得一定的折扣。学生L在等位的过程就开始思考，能否设计一种可以改变计算时间的沙漏，通过调节沙漏里面的沙来改变沙漏所计算的时间。在学习了微积分部分的知识后，她结合所学并通过实践，完成了一份内部评价作品。作品的基本思路如下：选取一个旋转对称的不规则沙漏，通过拍摄沙漏的截面图，得到沙漏的边缘曲线，利用软件回归得到曲线的方程，结合微积分算出该沙漏的体积，进而通过估算沙漏的速度，得到不同含沙量的沙漏与所测时间的关系。

（2）涉及知识要点

核心要点包括：曲线方程的回归，微积分计算旋转体的体积。这些知识点的串联需要学生熟练运用软件处理原始图像，通过建立坐标系、描点、回归函数等方式。在求解时间时，需要解一个变量在积分上限位置的方程，这也需要学生能够理解并应用软件求解。

（3）作品完成过程

在这篇作品完成前，学生L一直在犹豫自己内部作品的题目选择，几次选题都不是非常合适。学生L与指导教师关于选题进行过两次交流，第一次，指导教师从知识点出发，指引学生L发散到自己的生活，找寻可能的题目。第二次，指导教师让学生L发挥自己的主动性，观察自己的生活，寻找自己感兴趣的事情，并尝试发掘其中的数学原理。最终学生L在一次聚会中得到了这个灵感，在得到了教师的认可后，她积极搜索资料，并付诸实践，很快完成了论文的初稿。(www.xing528.com)

在学生L完成作品时，曾与指导教师进行过一次一个小时左右的沟通，主要涉及部分方程的求解方法，指导教师指引学生L学习了部分基本概念后，提出了可能的软件求解方法。

作品完成后，指导教师曾与学生有过一次交谈，学生L仅仅用了三天左右的时间便完成了整篇论文。她说，自己得到了灵感之后就一发不可收拾，整个思路非常清楚，她深刻感受到了数学的实用性，以及数学对生活的影响与改变。由此可见，这次内部评价对学生的数学兴趣是一次很大的提升。

（4）教师评述

这篇作品并不是很难，但是学生的切入点很好，是从身边的生活切入的。学生利用所学的数学解释并改进，让数学变得亲切可见。从动机上来讲，一个可以改变测量时间的沙漏，可以在不同的情况下发挥作用，这样一个很小的想法，让餐厅中的“情调”变得高科技。再者，在整个解决问题的过程中，学生考虑使用微积分去求解，但是课本中的微积分是给出函数，只要代入所需的范围以及旋转体体积的积分公式求解即可。此处，面对没有函数的积分，学生的第一个问题便是找到这样一个函数，然而这样的方法并不在课程大纲中。学生自学回归方法、软件使用、取点、数据收集等，这一系列过程，需要学生精确地工作，以及细致地分析，尤其是实际沙漏与图片的比例转化等。在整个过程中，学生需要足够的动力去不断挑战没有遇见过的新问题。积分上限是所求变量的方程的解法，在大纲中并没有出现，尤其当回归得到的方程并不是课本中设计好的简易方程时，如何简化运算，又是学生在实际操作中需要面对的问题。这时候利用软件去解，是很好的方法，但是软件的用法又是新的问题。整篇内部作品需要学生极大的决心以及不断挑战新问题的信心。这部作品在标准水平中是一个优秀的案例，学生在整个写作过程中也得到了各方面素养与能力的锻炼。在完成这篇“数学探索”的整个过程中，学生的数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等数学学科核心素养得到了非常好的培育，提高了数学的实践能力，也认识了数学的应用价值。