波动率指数(VIX)及其应用

一、VXO v.s. VIX

CBOE在1993年提出波动率指数(Volatility Index，VIX)的概念，来代表指数波动率的水平。该波动率指数(后来称为旧制)的编制是采用B-S公式，求出8个近月及次近月，平价附近的S＆P 100期权的隐含波动率，再加权平均而成为单一数值的波动率指数。此指数可用来代表整个期权市场对未来S＆P 100股价指数30天波动率的预期。从2003年开始的新制波动率指数，则是采用市场上近月及次近月所有S＆P 500价外的看涨期权及看跌期权的市价，经由另一套公式计算而得，并不须经由期权评价模型。新制波动率指数称为VIX; 而旧制的波动率指数称为VXO。[3]

旧制波动率的计算方法是采用4个近月平价附近看涨期权及看跌期权的隐含波动率，用线性插补法求得刚好是平价时的隐含波动率(σ1)。其次，再取4个次近月平价附近的隐含波动率，得出另一个刚好平价的隐含波动率(σ2)。然后将σ1及σ2利用插补法求出30天隐含波动率，再乘以100，得到波动率指数。因此旧制的波动率指数可以说是采用平价的波动率为整个波动率的代表。

虽然VXO采用8个期权的隐含波动率，其实也只用了4个。因为如果第四章介绍过的看涨期权看跌期权期货平价理论(put-call futures parity)成立，同一执行价格的看涨期权及看跌期权的隐含波动率应该一样。所以，严格来说，旧制可以说只取2个近月、2个次近月执行价格靠近指数(或指数期货)上、下两档的合约。

新制的波动率指数是以价格来代替隐含波动率。由于越近平价附近的时间价值越高，所以平价附近的权重也越大。换句话说，平价的隐含波动率仍占很大的比重，所以VIX和VIO的关联性仍是很高。另外由平价理论公式C－P=(F－K)e－r T看出，其实价外的看跌期权价格，可以由价内看涨期权减去(F－K)er T得到。所以，新制VIX其实也可以看成整个看涨期权隐含波动率的加权，而以平价附近几个合约的权重较大。只是，这时是以价格代替隐含波动率来计算。

二、新制VIX的计算公式

CBOE新制VIX的计算公式以下式再乘以100:

其中: T——存续期间

——从最近平价期权价格(价差最小者)所推算出来的隐含指数期货价格(依据公式)

Ki——第i个价外期权的执行价格，当时采用看涨期权，当时采用看跌期权

ΔKi——临近的两个执行价格差距的一半

K0——低于隐含指数的第一个执行价格(www.xing528.com)

Q(Ki)——执行价格为Ki的价外期权的市价(买价(bid)和卖价(ask)的平均)

R——无风险利率

实际VIX是公式19-8求算出来的σ再乘以100。其实公式19-8前面一项可看成所有价外期权的到期值，e RTQ(Ki)，乘以两个临近执行价格的间距，2ΔK，除以执行价格的平方K2，再除以到期期限T的加总。第二项则是平价期权的调整项，如果刚好是平价，则，第二项为0。其实第二项一般不大，甚至可以忽略不计。另外，在采用价外期权市价时，如果价外合约没有交易，变通的办法是找其对应的价内期权(相同K)，利用反算出来价外期权价格。

三、VXO转成新制VIX的可能理由

CBOE从旧制波动率指数VXO转换成新制的VIX，笔者推测可能有几个理由，包括:

1． VIX的计算不需经过B-S公式，而直接从期权市价计算; 反之，VXO则需经由B-S公式求出隐含波动率。

2． VIX是由所有价外看涨期权及看跌期权的市价计算而得; 而VXO是由8个近月及次近月平价期权的隐含波动率计算得到，代表性不足。换句话说，旧制是计算出平价的隐含波动率，而新制则是考虑了不同价外的价格。

3． VIX的计算在理论上是由评价波动率互换(variance swap)的公式而来，VXO则没有理论依据。

4． S＆P 500指数期权的交易量比S＆P 100指数期权的交易量大很多。

5． S＆P 500是一般较常用的股价指数，其相关的商品也比S＆P 100多。譬如S＆P 500期货、S＆P 500期货期权、S＆P 500ETF、S＆P 500ETF期权等。