利率期货的定价及影响因素

一、债券期货的定价

在本章第三节我们利用持有成本理论来评论外汇期货，同样地，本节也将利用持有成本理论来为债券期货及短期利率期货定价。在债券期货中的目标资产(譬如长期债券或是其他固定利率收益债券)，都会有利息的收入，因此，债券的持有成本即是持有债券的资金成本减去利息收入，因此，债券期货的价格可以写成:

债券期货价格=债券价格+债券资金成本－债券利息收入 (12-2)

以数学符号表示为:

F=S［1+(r－c)T］ (12-3)

其中: F是债券期货价格; S是债券现货价格; r是资金成本，常以短期债券回购的利率代表; c是债券的目前收益(current yield)，等于票面利率乘以债券面值再除以债券价格; T是到期期限[3]。

【例题2】 假设一个10年期债券的现货价格是102元，而债券的目前收益率为8%，市场上3个月债券回购利率是6%，那么3个月后到期的债券期货的理论价格等于多少?

解: 根据公式12-3，债券期货价格F =S［1+(r－c)T］=102［1+(6%－8%)×］=101.50

由以上的例子我们发现，长期国债期货的价格低于长期国债现货价格。一般而言，若收益率曲线的形状是往上(正斜率)，也就是说长期收益率大于短期收益率时，债券期货的价格会小于债券现货的价格。如上面的例子，3个月的短期利率是6%，而10年期债券的收益率为8%。因此，债券期货价格会低于债券现货价格，也就是持有成本为负。相反，若收益率曲线的形状是往下(负斜率)，也就是说长期收益率小于短期收益率时，债券持有成本为正，债券期货的价格会大于债券现货的价格。

一般在美国，长期国债期货的报价是采用面值的百分比(CME交易所长期国债的面值为10万美元)，而最小变动单位并不是以百分比表示，而是以1/32表示，譬如CME 12月到期长期国债期货报价为99－20，表示该期货的价值为:

CME的长期国债期货采实物交割，因此成交实际价格(invoice price)需加上债券已经累计的利息。另外，CME允许期货卖方可以选择交割15年以上不同票面利率的长期国债[4]，因此须考虑不同债券之间的价格关系，即转换因子(conversion factor)。转换因子的大小可以由CME获得，因此长期国债期货的实际交易价格为:

100000×期货报价%×转换因子+累计利息 (12-4)

二、短期国债期货的定价

对于短期国债而言，由于短期国债是用贴现的方式，因此持有短期国债现货至期满日间并无利息收入，所以公式12-2中，短期国债的期货价格就只等于短期国债的现货价格加上利息成本:

短期国债期货价格=短期国债现货价格+利息成本 (12-5)(www.xing528.com)

以公式表示:

F=S(1+r·T) (12-6)

【例题3】 假设还有150天到期的短期国债收益率为6.4%，60天债券回购的利率为6.2%，求60天到期的短期国债期货的理论价格。

解: 由于短期国债是采用折现方式，因此还有150天到期的短期国债现货价格为S=100－y·T(y为收益率)，故S=100－6.4%×=97.34。

因此短期国债期货理论价格为短期国债现货价格加上持有短期国债利息成本，或根据公式12-6:

所以短期国债的期货理论价格为98.35，由于13周短期国债的面值为100万美元，因此实际上交易金额(invoice amount)应为983500美元(100万美元×0.9835)。

对于短期国债期货而言，其报价方式并非实际所计算出来的交易价格。短期国债期货合约是采用国际货币市场指数(IMM index)报价方式。IMM指数等于100减去期货的贴现收益率(discount yield)。

因此，例题3中短期国债期货的理论报价应为100减去贴现收益率。贴现收益率y可由以下公式求得:1－y×=98.35%。因此，贴现收益率y=6.6%，期货报价=100－y=93.40。台湾地区30天商业本票利率期货的价格也是采用100减去利率的方式。或是我们也可以由短期国债期货的报价求出短期国债期货的实际价格。至于欧洲美元的报价方式与短期国债很类似，不同的是欧洲美元是以现金结算差价，不交割目标资产，而且利息是外加，而非如短期国债是折现方式。另外，如果短期国债期货报价为93.88，则期货实际交易价格==1000000×0.9872=987 200美元。

三、隐含回购利率

由利率期货的实际价格，经由公式12-6持有成本理论可以反推回短期国债现货的短期资金成本，也就是所谓的隐含回购利率(implied repo rate)，可视为短期的无风险利率。隐含回购利率等于期货的实际价格除以现货的价格减1再除以T，或是期货价格减现货价格除以现货与到期期限之积:

其中，r*为隐含回购利率，如果期货的市价和理论价格相同，则隐含回购利率就会等于市场上同期限债券回购利率。

动动脑

本节所介绍的隐含回购利率与第五章期权的隐含波幅，在概念上有何相同及相异之处?