Black-Scholes定价公式与看跌期权定价

Black-Scholes在导出看涨期权的定价公式后，利用第四章介绍过的看跌看涨期权平价关系推导出看跌期权公式。我们都知道看跌看涨期权平价关系的公式如下:

C－P=S－K(1+r)－T

移项后，可得:

P=C－S+K(1+r)－T

将B-S看涨期权公式5-1代入上式，将其整理可得看跌期权公式如下:

P=S［N(d1)－1］－K(1+r)－T［N(d2)－1］ (5-3)

公式5-3和看涨期权公式5-1很类似，只不过在公式5-1中的N(d1)现在改为N(d1) －1，而N(d2)改为N(d2) －1。

另外，根据标准常态累积概率性质: N(d1) +N( －d1) =1，则N(d1) －1=－N( －d1)，因此，也可以将公式5-3看跌期权公式改写成:

P=－S·N(－d1)+K(1+r)－TN(－d2)

或

P=K(1+r)－TN(－d2)－S·N(－d1) (5-4)

因此，在计算看跌期权时，可由公式5-3或公式5-4求得看跌期权价格; 或者若已知看涨期权，便可以直接快速地由看跌看涨期权平价关系来求得看跌期权的价值。

【例题2】 同例题1，求中国石油相同条件下的看跌期权价值。(www.xing528.com)

解: 算法1: 利用公式5-3，看跌期权为:

P=S［N(d1)－1］－K(1+r)－T［N(d2)－1］

由例题1已知N(d1) =0.655，N(d2) =0.421，所以看跌期权为:

算法2: 由看涨期权看跌期权等价公式直接求出:

P=C－S+K(1+r)－T=25.78－100+100(1+6%)－1=20.12

看跌期权的对冲比率

知道了看跌期权的公式，至于看跌期权的对冲比率，可对公式5-3微分得到:

由于N(d1)≤1，所以看跌期权的对冲比率会小于或等于0，且会大于等于－1，即－1≤≤0。也就是说当股价上涨时，看跌期权价格会下跌;反之，当股价下跌时，看跌期权价格会上涨。[7]

【例题3】 同例题2，求中国石油看跌期权的对冲比率。

解: 由公式5-5得知看跌期权的对冲比率为N(d1) －1，已知N(d1) =0.655，所以对冲比率为0.655－1=－0.345，也就是股价上涨1元，看跌期权下跌0.345元。

需要注意的是，看涨期权和看跌期权的对冲比率是不对称的。也就是股价上涨，对看涨期权和看跌期权价格的影响是不对称的。在上述中国石油看涨期权、看跌期权的例子中，当中国石油股价上升1元时，中国石油看涨期权上升0.655元，而看跌期权下跌0.345元，而非下跌0.655元。