Black-Scholes模型解析看涨期权定价公式

1997年诺贝尔经济学奖揭晓，莫顿和舒尔茨因为研究期权定价方法而获奖。[1]

本章所要介绍的布莱克-舒尔茨期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model)简称B-S模型，是期权教材中最重要的部分。B-S模型被用来计算理论上期权的到期前价值。该定价模型是由两位美国经济学家费雪·布莱克(Fischer Black)及麦伦·舒尔茨(Myron Scholes)于1973年所提出。此一公式的推出，奠定了之后全球金融衍生工具快速发展的基础。舒尔茨更因此获得1997年的诺贝尔经济学奖。[2]不只是学术界，甚至实务界也常使用B-S模型来作为期权理论价格的衡量标准。非常巧合的是，全世界最早的期权交易所——芝加哥期权交易所(CBOE)，也是在1973年开始交易股票期权。

期权的价格也称为期权费，那么买方需要支付多少期权费，来取得未来的报酬权利，才算合理? 卖方需要收取多少期权费，来弥补其未来可能的支出义务，才算公平呢? 这其中就牵涉看涨期权、看跌期权的合理价格的计算。B-S公式便是用来定价看涨期权与看跌期权的理论价格。

由第三章我们知道，影响期权价格的因素有目标股价、执行价格、期满日、股价报酬波动性、无风险利率等，给定这些变量，Black-Scholes两人推导出看涨期权合理价格公式如下:[3]

C=S·N(d1)－K(1+r)－TN(d2) (5-1)

其中: C: 看涨期权目前理论价值

S: 目前的股价

K: 执行价格

r: 无风险利率(以年为单位)

T: 期满日的长短(以年为单位)

σ: 股价报酬波动率(以年为单位)

ln: 自然对数

N(d1)为标准常态分布(standard normal distribution)的累积概率密度函数(cumulative density function)，此概率函数代表一个标准常态分布(以0为平均数，1为标准差)的随机变量小于d1累积的概率，如图5-1所示。d1、d2是将变量转换成标准常态分布的变量。

公式5-1看似复杂，其实可以换个角度来看。看涨期权的价值可看成未来预期看涨期权净收益的折现。公式第1项SN(d1)即为预期未来收入的折现，而第2项K(1+r)－TN(d2)即为未来预期支出的折现。收入减去支出的折现即为看涨期权的现值。

因此，我们只要知道目前股价及期权的执行价格、期满日、股价报酬的波动性、无风险利率，就可以根据公式5-1求出理论的看涨期权价值。以下将举例说明B-S公式的使用。

【例题1】 假设中国石油目前股价为100元，那么执行价格为100元、到期期限为1年的看涨期权的理论价格为多少(假设中国石油股价年报酬波动性为60%，无风险利率为6%)?

解: 根据上述资料，参考公式5-1的定义可知S=100，K=100，r=6%，T=1，σ=60%。(www.xing528.com)

步骤1: 先求出d1

图5-1 标准常态概率分配图

说明: 图5-1表示标准常态(以0为平均数，1为标准差)的概率分布图，套色区域的面积表示标准常态变量小于d1的概率总和，即累积概率N(d1)。

步骤2: 求N(d1)

N(d1)可由统计标准累积概率表查到，另外也可以在Excel的NORMSDIST指令得到。

N(d1) =N(0.4) =0.655

步骤3: 求d2

步骤4: 求N(d2)

查表得

N(d2) =N( －0.2) =0.421

步骤5: 求出看涨期权价值

看涨期权合理价格为:

S·N(d1)－K(1+r)－T·N(d2)=100×0.655－100(1+0.06)－1×0.421=25.78

也就是根据所给定的资料，1年期的中国石油看涨期权目前理论价格是25.78元。

另外，由本书所附的软件，给定变量值，也可以马上求出看涨期权的价值。[4]如果市价(假设为20元)低于理论价格，那么投机者便可从市场上买入看涨期权，以获取低估的利润。由于此买入的行动将会使看涨期权的需求增加，而使看涨期权价格上升，逐渐达到理论价格。反之，如果市价(假设为28元)高于理论价格，那么就可以卖空看涨期权以获取利润。因为卖空看涨期权会使看涨期权的供给增加而使价格下降，所以看涨期权将会逐渐回到理论价格。