基于状态空间模型的动态控制和无静差特性优化方案

时间：2023-07-02 理论教育版权反馈

【摘要】：根据第6章有关结论，条件确保了可检测增广模型的存在性。例9.1采用第3章的重油分馏塔模型，在平衡点附近连续时间传递函数矩阵采样周期为4。采用第8章的开环子空间辨识方法得到状态空间模型，nx＝20。控制结果如图9-1所示，MV和CV可无静差地跟踪到相应的稳态目标值。注意当没有模型失配时，d和p的稳态值为零。

本节中，将采用的目标函数与第6章不同，但这并不是证明无静差结论的关键，即采用第6章的目标函数时，同样能得到无静差控制的结论。另外，本节将不采用第6章的预镇定控制律，但是和第6章一样，都可以用于不稳定模型。

本节内容参考了参考文献[31，41]，并有所改动。在采样时刻k，已知和，采用如下的方法计算当前控制输入：

u_k|k＝v^*_k_|k+u_ss（k）（9-14）

其中，v^*_k_|k是如下QP问题的解：

加权矩阵Q、R、S保证线性二次型调节器对应的Riccati迭代可行。

引理9.2如果增广模型的估计器（9-4）是稳定的，且扰动状态的个数与输出的个数相等，即n_d+n_p＝n_y，则滤波增益L₂＝[L^T_d，L^T_p]^T满秩。

证明：由于n_d+n_p＝n_y，L₂是方阵，且可表示为Jordan标准型L₂＝VJV^-1，其中J是上三角阵。使用反证法。假设L₂是不满秩的，这说明J的某个特征值为零。假设J中的特征值已经被排序使其零特征值位于对角线的底部。由稳态Kalman滤波的稳定性可推知矩阵是稳定的。记

定义

与如下的相似矩阵具有相同的特征值：

由于J是上三角矩阵且零特征值位于对角线的底部，所以J的最底部的一行全为零。矩阵[-JV^-1CAI-JV^-1G₃V]的最底部一行为[0…0 1]，这意味着估计器有一个特征值为1，所以不稳定。显然，这与估计器的稳定假设矛盾，因此L₂必须是满秩的。

证毕

定理9.3 考虑输出反馈预测控制，目标函数为式（9-15），约束条件为式（9-16），状态估计器为式（9-4），SSTC描述为目标跟踪问题式（9-6）～式（9-9）或式（9-11）。记。该控制器在如下的条件下实现无静差控制：

（i）闭环系统是渐近稳定的，在稳态时恒定不变；

（ii）式（9-1）所示的过程模型可镇定且可检测；

（iii）n_d+n_p＝n_y；

（iv）式（9-2）所示的增广模型是可检测的；

（v）输入和输出的不等式约束在稳态不起作用。条件（i）需要闭环系统实际到达稳态，其中也包括优化问题时时可行。条件（ii）使得稳定的控制器、可检测的增广模型、唯一确定的成为可能。根据第6章有关结论，条件（iii）确保了可检测增广模型的存在性。条件（iv）确保了稳定的观测器可以被构造。条件（v）确保稳态时可以采用由无约束控制器确定的控制输入。

证明：由式（9-2）的增广模型的状态估计器，产生如下的稳态估计：

由于闭环系统是渐近稳定的（说明增广状态估计器也是稳定的）和n_d+n_p＝n_y，由引理9.2可知L₂是满秩的。根据式（9-18）和式（9-19），满秩的L₂分别意味着

进一步将式（9-21）带入式（9-20）得到

由于条件（ii），SSTC存在唯一解。因此，约束条件式（9-7）必须得到满足，即

式（9-21）减式（9-23）得(www.xing528.com)

由于过程模型式（9-1）是可镇定的和条件（i），控制输入可以通过有限时域无约束线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）方法进行计算，即

其中，K为增益矩阵。将式（9-25）代入式（9-24）得到

反馈增益的渐近稳定性意味着矩阵（A-BK）是稳定的，因此式（9-26）必然导致。由式（9-5）可知，可达的输出目标为

式（9-22）减式（9-27）得

这意味着y_∞＝y_ss（∞）。

证毕

在这一无静差控制的结论中，条件（i）的满足是需要深入研究的问题，在各种复杂情况下尚且是未解决的公开问题。条件（v）要求各种不等式约束（输入输出幅值）在稳态时不起作用，对一般的SSTC而言也不容易做到，故如何删除（v）是未解决的公开问题。

例9.1采用第3章的重油分馏塔模型，在平衡点附近连续时间传递函数矩阵

采样周期为4。采用第8章的开环子空间辨识方法得到状态空间模型，n_x＝20。首先取y_eq＝0、u_eq＝0和f_eq＝0。u（-1）＝u_eq，y（0）＝y_eq，。MV、CV的相关约束如下：、、；、。外部目标y_t＝y_eq+[0.5，-0.5，0.5]^T，u_t＝u_eq+[0.5，-0.5，0.5]^T。

取G_d＝[I₂，0]^T，G_p＝[1，0，0]^T。在SSTC，通过求解优化问题式（9-11）可得到各时刻的稳态目标，各参数选取如下：Q_s＝I₃、R_s＝I₃、q_s＝[0.5，0.5，0.5]^T。在动态控制部分，取N＝10，j₁＝1，Q＝Q_s，R＝S＝R_s，被控对象为A_r＝0.8A，B_r＝0.8B，C_r＝0.8C，F_r＝0.8F。可测干扰f_k在时刻k＝158～168和k＝228～238发生变化，幅值分别为f_eq+[0.05，0.05]^T和f_eq-[0.05，0.05]^T，其他时间段内f_k＝f_eq。通过求解优化问题式（9-15）～式（9-16），并利用式（9-14），可求得MV动态值。控制结果如图9-1所示，MV和CV可无静差地跟踪到相应的稳态目标值。

图9-1 控制效果图

如果没有模型失配（即A_r＝A、B_r＝B、C_r＝C、F_r＝F），且平衡点{x，y，u，f}_eq满足

（I-A）x_eq＝Bu_eq+Ff_eq，y_eq＝Cx_eq

则平衡点的任意移动仅影响仿真中各变量的绝对数值，不影响相对值（曲线形状）。取。针对两组平衡点{u_i，eq＝23，f_i，eq＝17}和{u_i，eq＝-123，f_i，eq＝32}，控制结果分别如图9-2和图9-3所示。注意当没有模型失配时，d和p的稳态值为零。

图9-2 控制效果图

注意，取任意其他的平衡点时[不需考虑平衡点是否满足（I-A）x_eq＝Bu_eq+Ff_eq和y_eq＝Cx_eq]，本章算法仍然可用。取u_i，eq＝0.1，f_i，eq＝0.09，x_i，eq＝ξ_i（I-A）^-1（Bu_eq+Ff_eq）-0.1，y_i，eq＝ξ_iCx_eq+0.05，其中，ξ_i为单位阵的第i行。取外部目标y_t＝y_eq+[0.5，-0.2，0.4]^T，u_t＝u_eq+[0.5，-0.5，0.5]^T，以及＝-0.05，x_i（0）＝0.05。被控对象为A_r＝0.95A，B_r＝0.95B，C_r＝0.95C，F_r＝0.95F。其他参数同前。控制结果如图9-4所示。