工业预测控制线性回归分析法详解

时间：2026-01-23 理论教育可欣版权反馈

【摘要】：对照式和式，利用斜向投影相关结果得到注意：。是对的列进行线性组合后的结果，也是对的行进行线性组合的结果。线性回归分析法的算法步骤如下：根据式计算得到；对进行SVD分解，有其中，Λ2的奇异值比Λ1的奇异值要小得多。根据奇异值大小确定信号子空间Σ1Λ1VT1和噪声子空间Σ2Λ2VT2。由Ef和Uf不相关知。式可重写为通过重组式得到由最小二乘法求解超定线性方程组可求得矩阵B和D。

本小节内容原算法可见参考文献[14]。回归分析法（RegressionAnalysisAp-proach，RAA）利用了预测器形式的状态空间模型进行推导，但本质上是采用新息形式状态空间模型的子空间辨识技术。由式（8-34），有

其中，B_K＝B-KD。由上式迭代可得

同理可得x_i+₁，…，x_i+_j-1，由这j个方程组成如下的矩阵方程：

X_f＝Φ_yY_p+Φ_uU_p+Φ_xX_p （8-60）

其中，{Φ_u，Φ_y}与上节的类似，即

Φ_u＝[A^i-1_KB_K … A_KB_KB_K]，Φ_y＝[A^i-1_KK … A_KKK]

Φ_x＝（A-KC）ⁱ。由于稳态Kalman滤波的稳定性，对于i→∞，Φ_x→0，则有

X_f＝Φ_yY_p+Φ_uU_p （8-61）

记Z_p＝[Y^T_pU^T_p]^T，故

X_f＝[Φ_yΦ_u]Z_p＝L_pZ_p （8-62）

将式（8-62）带入式（8-48）并重写为

Y_f＝L_zZ_p+H^d_iU_f+H^s_iE_f （8-63）

其中，。对照式（8-10）和式（8-63），利用斜向投影相关结果得到

注意：。是对的列进行线性组合后的结果，也是对的行进行线性组合的结果。同时，行满秩而列满秩[前者因为j充分大、（A，[B，K]）能控且输入u是f+p阶持续激励的；后者因为（C，A）是能观的]。故的列空间与列空间相同，而其行空间与的行空间相同。因此很容易通过SVD分解得到和，进而确定系统矩阵。(https://www.xing528.com)

线性回归分析法的算法步骤如下：

（1）根据式（8-64）计算得到；

（2）对进行SVD分解，有

其中，Λ₂的奇异值比Λ₁的奇异值要小得多。根据奇异值大小确定信号子空间Σ₁Λ₁V^T₁和噪声子空间Σ₂Λ₂V^T₂。通过观察所有奇异值，选取n_x个最大的值置于Λ₁而相对较小的值置于Λ₂中，n_x便是系统阶次（状态维数）。值得指出，这种人工确定n_x的方式淡化了关于噪声的假设的严格意义，因此得到的状态空间模型是近似的。