使用Kalman滤波方法进行线性系统状态估计

子空间辨识研究时常用的状态空间方程有三种表达形式：过程形式、新息形式和预测器形式，这三种形式可以相互转换。

1.过程形式

对线性时不变离散时间系统，其过程形式的状态空间方程为

其中，、和分别为过程的输入、输出和系统状态，{A，B，C，D}为系统参数矩阵，为输入噪声，为观测噪声且满足

κ_pq为Kronecker符号。这表明η_k和ξ_k都是白噪声。

由第2章知，如果假设S＝0，对线性系统的状态空间描述并没有带来更多的特殊性。但是，假设S≠0在子空间辨识中更加方便，其对应的Kalman滤波方法见第2章。

对实际应用，辨识以上状态空间模型时{x，u，y}应该是{x，u，y}或者{Δx，Δu，Δy}的省略形式。采用{x，u，y}时，需要知道系统的稳态工作点{u，y}_eq；采用{Δx，Δu，Δy}时，不需要知道系统的稳态工作点。

2.新息形式

对线性时不变离散时间系统，其新息形式的状态空间方程为

其中，e_k为与输入u_k和过去的输出均不相关的白噪声序列。

通过Kalman预报器和符号置换，可发现式（8-30）和式（8-32）是一致的。如果式（8-30）是可检测的，则基于稳态Kalman预报器可估计系统状态，即

其中，K为Kalman预报器增益。定义为新息，并简记为x_k，则可以得到式（8-32）。

3.预测器形式(www.xing528.com)

以上新息形式的状态空间方程亦可转换为预测器形式：

其中，z_k＝[u^T_ky^T_k]^T，。如果式（8-30）是可检测的，总可以找到一个K，使得A_K＝A-KC稳定，所以对于不稳定系统进行闭环辨识时，预测器形式更为有利。

以新息形式状态空间描述为例，子空间辨识问题为：对于给定的L+1组输入输出采样数据{u_k，y_k}^L_k＝0，确定系统阶数n_x和系统矩阵（A，B，C，D，K）。针对新息形式的状态空间描述，常用矩阵的定义如下：

•数据d的Hankel矩阵，d∈{u，y，e}，D∈{U，Y，E}：

其中下标t₁|t₂表示Hankel矩阵的第一列起始于t₁时刻结束于t₂时刻；

•状态序列矩阵：，；

•扩展能观性矩阵：；

•确定输入项的逆向扩展能控性矩阵：；

•随机输入项的逆向扩展能控性矩阵：；

•确定输入项的下三角分块Toeplitz矩阵：

•随机输入项的下三角分块Toeplitz矩阵：