优化Kalman滤波器的使用

定理2.5 （Kalman滤波器）系统式（2-37）～式（2-38）在假设2.1～2.3下，Kalman滤波器为

称K（k）为Kalman滤波器增益。

证明：在性能指标式（2-43）下，问题归结为求投影

由递推投影公式（2-36）得到递推关系式（2-44）和

K（k）＝E[x（k）ε^T（k）]{E[ε（k）ε^T（k）]}^-1 （2-52）

对k-1→k的状态方程两边取投影有

由状态方程迭代可知

且应用观测方程有

从而引出

由式（2-56）、假设2.1～2.3有

故

proj（η（k-1）|y（1），…，y（k-1））＝0 （2-58）

于是式（2-53）成为式（2-45）。

对式（2-38）取投影有

由假设2.1～2.3和式（2-56）有

故

proj（ξ（k）|y（1），…，y（k-1））＝0 （2-61）

于是式（2-59）成为

这引出新息表达式（2-46）。

记滤波和预报误差及方差阵为

则由式（2-38）和式（2-46），有新息表达式

且由k-1→k的状态方程减式（2-45）得

由x（k）＝x（k）减式（2-44）得

将式（2-67）代入式（2-69）引出

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其中，I为单位阵。

因为

故有

这引出

于是由式（2-68）得到式（2-48）。

因为

故有

由此引出

于是由式（2-67）得到新息方差阵为

E[ε（k）ε^T（k）]＝HP（k|k-1）H^T+R （2-77）

且由式（2-70）可得式（2-49）。

下面求Kalman滤波器增益K（k）。为此，求E[x（k）ε^T（k）]。应用式（2-67）有

由投影正交性，有

且注意、，于是由式（2-78）引出

E[x（k）ε^T（k）]＝P（k|k-1）H^T （2-80）

将式（2-80）和式（2-77）代入式（2-52），得增益式（2-47）。

证毕。

注解2.1 初值取式（2-50）是为了保证估值的无偏性。采用式（2-37）、式（2-38）、式（2-45）、式（2-62）得到。当k＞1时，进一步得到[x（k）]=E[y（k）]。因此，对所有k＞0，E[ε（k）]＝0。合并式（2-44）～式（2-46）得到

考虑例2.1，取，P（0|0）＝1，注意ΓQ^1/2＝0，取R＝1，则得到与式（2-4）等价的解，具体求解步骤为

例2.2 考虑系统，y（k）＝[1 0]x（k）+ξ（k），Q＝1，R＝2，，P（0|0）＝diag{2，3}，y（1）＝9。由定理2.5可得

例2.3 考虑系统

其中，x＝[x₁x₂]^T，η（k）和ξ（k）是方差各为0.81和1的独立高斯白噪声，问题是求Kalman滤波器。取初值为，P（0|0）＝0，仿真结果如图2-1所示，其中，实线为真实值，虚线为估值。

图2-1 状态x（k）和Kalman滤波