如何制作截交线？

1.积聚性取点法

当截平面垂直于投影平面时，截切后的回转体表面也垂直于投影平面，其截交线的投影必与截断面和回转体表面的投影重合。因此，截交线上点的两面投影为已知，通过已知两点的投影，便能求作出一系列交线上的点。

例7-1 如图7-1a所示，圆柱被正垂面截切，已知主、俯视图，求截交线的侧面投影。

1）空间构形与投影分析（见图7-1b）。由题意可知，截平面与圆柱体轴线倾斜，其截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚为一条斜线，水平投影与圆柱面的投影重合积聚成圆，而截交线的侧面投影仍为椭圆。

截断面上椭圆的长轴AC为正平线，短轴BD为正垂线，二者互相垂直平分。长轴上A、C两端点分别是椭圆的最左、最右、最高和最低的特殊位置点，交于圆柱面的最左、最右素线上。短轴上B、D两端点分别是椭圆的最前、最后特殊位置点，交于圆柱面的最前、最后素线上。

图7-1 平面截切圆柱体

2）作截交线的侧面投影

①找出截交线上特殊点的投影。长轴上两个端点A、C的正面投影位于圆柱体主视图的最左、最右轮廓素线上的点a′、c′，水平投影积聚为点a、c；短轴上两个端点B、D的正面投影位于圆柱体的轴线上并重合为一点b′（d′），水平投影积聚为点b、d。根据已知两点求作第三点的方法，求得点a″、b″、c″、d″，如图7-1c所示。

②求中间点。为了作图准确，还必须在特殊点之间作出适当数量的中间点，如E、F、G、H。一般先确定点e′（f′）、g′（h′）的位置，再根据圆柱面上找点的方法求得点e、f、g、h和点e″、f″、g″、h″，如图7-1c所示。

③连线。用曲线板依次将点a″b″c″d″e″f″g″h″连接成光滑曲线，即为所求截交线椭圆的侧面投影，如图7-1d所示。

平面切割圆柱时，因截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其和圆柱面的截交线形状也是不同的，见表7-1。

表7-1 平面与圆柱的截交线

当截平面与圆柱轴线交角为45°时，截交线的空间形状为椭圆，但因椭圆长、短轴的侧面投影相等，所以截交线的侧面投影为圆，圆的直径等于圆柱的直径，如图7-2所示。

图7-2 截平面与圆柱轴线倾斜45°

2.辅助线法

例7-2 如图7-3a所示，求圆锥被侧平面P截切的截交线的侧面投影。

图7-3 圆锥与侧平面相交

1）空间构形与投影分析（见图7-3b）。平面与圆锥相交，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线的形状也不同，见表7-2。

由题意可知，圆锥面被侧平面P切割，P面平行于圆锥轴线，故截交线的形状为一条双曲线。由于截交线既在圆锥上，又在截平面上，故截交线的正面投影和水平投影积聚成直线，其侧面投影反映实形。(www.xing528.com)

双曲线的最高点O在圆柱的最左轮廓素线上；最前、最后点Ⅰ、Ⅳ是双曲线与圆锥底面的交点。这些点都是双曲线上的特殊点。

2）求作截交线的侧面投影

①求特殊位置点的投影。根据截交线的正面投影和侧面投影，求出截交线的特殊位置点的侧面投影。由最高点o′、o求得其侧面投影o″；由最前、最后点也是最低点1′、1、4′、4求得其侧面投影1″、4″，如图7-3c所示。

②求中间点。为了提高作图的准确性，可利用“素线法”来求作若干中间点。作图时，先在水平面上作圆锥素线sa、sb，与P面的水平投影相交于点2、3；然后，在侧面投影中，根据素线sa、sb求出其投影s″a″、s″b″，并将点2、3向s″a″、s″b″投影得点2″3″，如图7-3c所示。

③连线。依次把求得的点用曲线光滑的连接起来，即完成截交线的侧面投影，如图7-3d所示。

表7-2 平面与圆锥的截交线

上述例题中，求作中间点的方法除了用“素线法”外，还可以用“纬圆法”。如图7-4a所示，在圆锥面上作若干纬圆，每个纬圆与截平面P产生两个交点（Ⅱ和Ⅲ），它们既在圆锥面上，又在截平面P上。作图时，先在俯视图上作出纬圆的水平投影，与截平面P交于点2、3，并将纬圆向侧面投影，作出纬圆的侧面投影线，然后根据点的投影求出中间点2″、3″。作图结果如图7-4b所示。

图7-4 纬圆法

3.辅助平面法

辅助平面法是借助假想平面截切已被截断的回转体，从而求出回转体表面与截断面的交线。两条交线的交点，即为截交线上的点。该点既是回转体表面上的点，又是截断面和假想平面上的点，是三个面的共点。

用辅助平面法求作截交线上的点，关键是选择辅助平面的位置。假想平面必须在回转体截交线的范围内截切，而且截切后的断面的投影应为圆或直线。

例7-3 如图7-5所示，求圆球被正垂面P截切后的投影。

图7-5 圆球与正垂面相交

1）空间构形与投影分析。平面与圆球在任意位置相交，其截交线都为圆。

由题意可知，圆球被正垂面P切割，截交线空间形状为圆，截交线在正面投影上积聚成直线，但因截平面P与水平面和侧平面倾斜，因此其截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆。

2）求作截交线的侧面投影

①求特殊位置点的投影。圆球的正面轮廓线于截平面P的交点1′、7′是截交线上的最低、最高点的正面投影，其水平投影1、7和侧面投影1″、7″为截交线投影的短轴；取正面投影1′、7′的中点4′（10′），根据点的投影规律，求出水平投影和侧面投影4、10和4″、10″，即为截交线的长轴投影；点2、6、8、12是球的水平轮廓线及侧面轮廓线与截平面交点的水平投影，其侧面投影为2″、6″、8″、12″，如图7-5b所示。

②求中间点。此时可利用辅助平面法，在圆球的适当位置作辅助水平面M、N。辅助平面的正面投影积聚成直线，与截平面P交于点3′（11′）5′（9′）、；辅助平面的水平投为圆，侧面投影积聚成直线，再根据点的投影规律，求得点交点的水平投影3、5、9、11及侧面投影3″、5″、9″、11″，如图7-5c所示。

③连线。依次把求得的点用曲线光滑的连接起来，即完成截交线的水平投影和侧面投影，如图7-5d所示。