质点的动静法介绍与应用

1.惯性力的概念

任何物体都有保持静止或匀速直线运动的属性，称之为惯性。当物体受到外力的作用使物体的运动状态发生改变时，物体会对施力物体产生反作用力，而反作用力是由于物体的惯性所引起的，因此将作用在施力物体上的反作用力称为惯性力。

如图4-2-2所示，人沿光滑地面用力F推动一辆质量为m的小车，小车的加速度为a，根据质点动力学基本方程可得F＝ma。根据作用与反作用公理知，人给小车一个作用力F，那么人必受到小车的反作用力F′，那么F与F′必满足等值、反向且共线，因此F′＝-ma。因为F′是由于小车的惯性引起的，因此F′即为小车的惯性力。该惯性力是因在力F的作用下使小车的运动状态发生了改变，由于小车的惯性而引起对人手的反作用力，其大小等于小车的质量与加速度的乘积，其方向与加速度方向相反，作用在人手上。

因此可以得如下结论：当质点受到作用力而产生加速度时，质点由于惯性必然给施力体以反作用力，该反作用力即称为质点的惯性力；该惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。

若用Fg表示质点的惯性力，则Fg＝-ma。

2.质点的动静法

设一质点的质量为m，该质点受主动力F及约束力FN的作用，沿其轨迹线运动，如图4-2-3所示。由牛顿第二运动定律得

所以

引入Fg＝-ma，上式可表示为

式（4-2-1）表明，如果在质点上除作用有主动力及约束力外，再假想地加上惯性力，则这些力构成平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。

图4-2-2　人推动小车

图4-2-3　质点受主动力作用

利用质点的达朗伯原理，可以用静力学平衡方程求解动力学问题的方法，称为动静法。动静法的工程应用十分广泛，这种方法使一些动力学问题的求解显得更方便。

应该强调指出，这里的质点并非处于平衡状态，平衡状态是虚拟的，实际上，质点也没有受到惯性力的作用，作用在质点上的惯性力也是假想的，这样做只是为了借用静力学的方法求解动力学问题。这种利用熟知的方法求解新问题的方法，使新问题更容易掌握和应用。

将式（4-2-1）在自然坐标轴上投影，即得动静法的自然坐标式

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将式（4-2-1）在直角坐标轴投影，即得动静法的直角坐标式

应用质点动静法解题的步骤如下：

（1）确定研究对象，分析其受力并画出受力图；其中惯性力应根据质点的运动条件及轨迹曲线来确定。

（2）列静力学平衡方程并求解。

例4-2-1　在水平直线运动的车厢中，挂一单摆，如图4-2-4所示。摆锤重为G，当列车做匀变速运动时，摆稳定在与铅直线成α角的位置上。求车厢的加速度a。

解：（1）取摆锤为研究对象，分析受力并画受力图。摆锤受主动力G、绳子拉力FT作用。摆锤做水平直线运动，其加速度a水平向右，则其惯性力Fg水平向左。

（2）由质点动静法知，作用于摆锤上的主动力G、约束力F、惯性力Fg组成了形式上的平衡力系。其中惯性力。建立坐标系列平衡方程

得

得

图4-2-4　例4-2-1图

式（4-2-1）、式（4-2-2）及

联立可得

由此可见：α角随着加速度a的变化而变化：当a不变时，α角也不变。只要测出α角，就能知道列车的加速度a。这就是摆式加速计的原理。