刚体动力学的两类问题详解

1.已知转动情况求转矩

例4-1-3　在提升设备中[图4-1-11（a）]，跨过滑轮的钢索吊起质量为mA＝50kg的物体A。已知物体A的加速度a＝1m/s2，滑轮为实心圆柱形鼓轮，质量m＝20kg，半径R＝25cm。试求加在滑轮上的力矩Mo（不计钢索的质量及轴承摩擦）。

图4-1-11　例4-1-3图

解：（1）首先选取重物A为研究对象，画受力图，如图4-1-11（b）所示。根据质点动力方程得

故

（2）再取滑轮为研究对象并画受力图，如图4-1-11（c）所示。滑轮在力矩Mo和绳的拉力T所产生的阻力矩的共同作用下，沿逆时针方向加速转动。根据定轴转动刚体的动力学方程得

因

故

2.已知转矩求转动情况

刚体转动动力学基本方程式M＝Jε与质点动力学基本方程F＝ma相似，转矩M与力F相对应，角加速度ε与加速度a相对应，表示刚体转动惯性的转动惯量J与表示质点运动惯性的质量相对应。刚体转动动力学基本方程式的应用，与质点动力学基本方程式（4-1-1）的应用相似，可用于解决动力学两类基本问题。

【任务实施】

如图4-1-1所示，带传动中，大轮的直径D＝0.8m，转动惯量J＝16kg·m2。带拉力T1＝1.6kN，T2＝0.8kN，轴承摩擦不计。试求大轮由静止开始至转速n＝600r/min时所需的时间t。

解：（1）确定研究对象，进行受力分析和运动分析。取大轮为研究对象，其受力情况如图4-1-1所示。大轮在T1、T2两力所产生的转矩作用下做匀加速转动。

（2）由刚体转动动力学基本方程式求ε

因为作用在大皮带轮上的转矩为

转动惯量为

将M、J代入上式得

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（3）应用匀变速转动公式求时间t。

因为

由

得

【任务小结】

本任务的主要内容是刚体动力学基本方程、质点动力学基本方程及已知转动情况求转矩等。

1.质点动力学基本方程

2.质点动力学的两类问题

（1）已知运动求作用力.

一般分析步骤如下：

①确定研究对象。根据题意，取重物为研究对象。

②画出研究对象的受力图。

③列出质点运动微分方程，并对其求解。

（2）已知作用力求物体的运动.

3.构件定轴转动的动力学基本方程

（1）刚体转动动力学基本方程：

（2）转动惯量：

4.刚体动力学的两类问题

（1）已知转矩求转动情况；

（2）已知转动情况求转矩。

【实践训练】