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质点动力学的两个问题类型

时间:2023-07-02 理论教育 版权反馈
【摘要】:根据题意,取重物为研究对象。画出研究对象的受力图。列出质点运动微分方程,并对其求解。由质点运动微分方程得因为重物做匀速直线运动,=a=0,即如图4-1-5所示,此时为减速,a的方向向下。例4-1-2研磨细矿石所用的球磨机可简化为图4-1-6所示。设圆筒内径d=3.2m,问圆筒转动的转速n应为多大?

质点动力学的两个问题类型

1.已知运动求作用力

若已知质点的运动方程、速度和加速度方程,可以求解质点上的作用力。步骤和静力学相似,一般分成3步:

(1)确定研究对象。根据题意,取重物为研究对象。

(2)画出研究对象的受力图。在受力图中,应该画出加速度的方向[见图4-1-5(b)、(c)、(d)]。

(3)列出质点运动微分方程,并对其求解。

例4-1-1 桥式起重机起吊重物如图4-1-5(a)所示。已知重物的重量为G=980N。试求在下列三种情况下吊索的拉力:(1)重物由静止以a=1m/s2的匀加速启动时;(2)重物匀速上升时;(3)重物以a=1m/s2的匀减速制动时。

解:(1)如图4-1-5(b)所示,此时为加速,a的方向向上。由质点运动微分方程

因为重物做匀加速直线运动,故

图4-1-5 例4-1-1图

(2)如图4-1-5(c)所示,此时为匀速,a=0。由质点运动微分方程得

因为重物做匀速直线运动=a=0,即

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(3)如图4-1-5(d)所示,此时为减速,a的方向向下。由质点运动微分方程得

因为重物做匀减速直线运动,=-a,即

由计算结果看出:重物具有加速度时,吊索受的载荷比匀速时将增大或者减小,这时吊索的载荷可看做由两部分组成:一部分是物体的重量G所产生的载荷,称为静载荷,另一部分是由于有加速度而产生的载荷,大小为ma,称为动载荷。

2.已知作用力,求物体的运动

已知作用于质点上的力,将质点的微分方程积分,由初始条件确定微分常数,求出质点的运动状况。

例4-1-2 研磨细矿石所用的球磨机可简化为图4-1-6所示。当圆筒绕水平纵轴转动时,开始和筒壁脱离而沿抛物线下落,借以打击矿石。打击力与α角有关,且已知α=50°40′时,可以得到最大的打击力。设圆筒内径d=3.2m,问圆筒转动的转速n应为多大?

解:(1)确定研究对象:钢球M。

2)受力分析:重力FG、法向反力FN、摩擦力F,如图4-1-6(b)所示。

3)运动分析:钢球M在脱离筒壁之前作匀速圆周运动,其加速度即法向加速度。

图4-1-6 例4-1-2图

4)列微分方程,求未知物理量,即

钢球M脱离筒壁条件是FN=0,将其代入得

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