质点动力学的基本方程

1.动力学的内容与基本定律

1）动力学的内容

静力学只研究了物体受作用力时的平衡条件，物体处于平衡状态仅是物体机械运动的一种特殊情况。在工程实际中，大量的问题是在力的作用下物体的运动状态不断地发生变化，动力学就是研究物体运动状态的变化与作用力之间的关系的学科。

动力学研究的基本问题是：（1）已知物体的运动，求作用在物体上的力；（2）已知作用在物体上的力，求物体的运动。

动力学的内容一般分为质点动力学和质点系动力学两个部分。

2）动力学基本定律

物体运动状态的改变与物体所受的力和物体的质量有关，这种关系可由牛顿第二定律表示：质点因受到力的作用而产生的加速度，其方向与力的方向相同，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比。

设质量为m的质点，受到合力为F的力系作用而沿曲线运动，其加速度为a，如图4-1-2所示，于是此定律可表示为

式（4-1-1）称为质点动力学基本方程。

图4-1-2　力F作用下质点的运动

由牛顿第二定律可知，在相同的力的作用下，质量越大的物体得到的加速度越小，也就是运动的变化越小，或者说保持其自身速度不变的惯性越大。相反地，质量越小的物体得到的加速度越大，也就是说运动的变化越大，或者说保持其自身速度不变的惯性越小。因此，质量是物体惯性大小的量度，是物体的固有属性，重量是地球对物体的作用力，在不同的地域同一物体的重力略有不同，重量也称重力，质量和重量是两个不同的概念，设物体的重量为G，质量为m，g为物体的重力加速度，则重量和质量的关系为

式中，g＝9.8m/s2，质量为1kg的物体，其重量G＝mg＝1×9.8N＝9.8N。

2.质点运动微分方程

1）自然坐标法微分方程(www.xing528.com)

将质点动力学基本方程式（4-1-1）沿自然坐标轴投影，如图4-1-3所示，由质点运动学可知，质点动力学微分方程的自然坐标式为

式中　Fτ——作用于质点上的合力在切向的投影；

　　　aτ——质点的切向加速度；

　　　Fn——作用于质点上的合力在法向的投影；

　　　an——质点的法向加速度。

2）直角坐标法微分方程

将质点动力学基本方程式（4-1-1）沿直角坐标轴投影，如图4-1-4所示，由质点运动学可知，质点动力学微分方程的直角坐标式为

图4-1-3　自然坐标法微分方程

图4-1-4　直角坐标法微分方程

式中　Fx——作用于质点上的合力在x轴方向的投影；

ax——质点在x轴方向的加速度；

Fy——作用于质点上的合力在y轴方向的投影；

ay——质点在y轴方向的加速度。