平面图形中的点速度合成方法

1.基点法

从上节知道，构件的平面运动可分解为随同基点的平动和绕基点的转动。随同基点的平动是牵连运动，绕基点的转动是相对运动。因而平面运动构件上任一点的速度，可用速度合成定理来分析。

设平面运动图形A点速度为vA，瞬时平面角速度为ω，求图形上任一点B的速度，如图3-2-12所示。图形上A点的速度已知，所以选A点为基点，则图形的牵连运动是随同基点的平动，B点的牵连速度ve等于基点A的速度vA，即ve＝vA，如图3-2-12（a）所示。图形的相对运动是绕基点A的转动，B点的相对速度vB等于B点以AB为半径绕A点作圆周运动的速度vBA，即vr＝vBA，其大小vBA＝ω×AB，方向垂直于AB，指向与角速度ω转向一致，如图3-2-12（b）所示。

由速度合成定理得，某一瞬时，平面图形内任一点的速度，等于基点的速度与该点相对于基点转动速度的矢量和，即

图3-2-12　基点法

例3-2-4　曲柄滑块机构如图3-2-13所示，已知曲柄OA长度为r，连杆AB长度为l，曲柄以匀角速度ω转动。求当曲柄转角为φ时，滑块B的移动速度vB和连杆AB的角速度ωBA。

对心曲柄滑块机构

图3-2-13　例3-2-4图

解：（1）运动分析：曲柄OA绕O轴作定轴转动，滑块B沿水平方向做直线平动，连杆AB做平面运动。已知连杆AB上A点的速度vA＝rω，方向垂直于OA，所以选A点为基点；滑块沿水平方向移动，B点的速度vB方向为水平方向，大小未知，vBA大小未知，方向垂直于连杆AB。

（2）应用基点法，合成B点的速度，即vB＝vA＋vBA，作出速度矢量图。由几何关系得

因此

所以

例3-2-5　在图3-2-14所示的曲柄摇杆机构中，曲柄O1A长度为r，连杆AB长度为3r，曲柄O1A以匀角速度ω1转动。在图示位置时O1A⊥AB，∠O2BA＝60°。求此瞬时摇杆O2B的角速度ω2。

解：已知曲柄杆O1A的运动，要求杆O2B的运动，它们都做定轴转动。两者通过连杆AB联系起来，因此，取连杆AB为研究对象，它做平面运动。取A点为基点，由速度合成定理，有

图3-2-14　曲柄摇杆机构

式中，vA垂直于O1A，大小vA＝rω1为已知；vBA垂直于AB，大小未知；vB垂直于O2B，大小亦未知。

作速度平行四边形，由几何关系得

由此可求出杆O2B绕O2轴转动的角速度

由vB的方向知ω2为逆时针转向。

2.速度投影法

由图3-2-12（c）中可以看到，vBA总是垂直于AB，则vBA在AB连线上的投影等于零。因此若把矢量方程式（3-2-3）在AB连线上投影，可得

此式表明：B点的速度vB和A点的速度vA，在AB连线上的投影相等，为速度投影定理，即平面运动的构件，其平面内任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

例3-2-6　如图3-2-15所示，已知：曲柄滑块机构中曲柄OA＝r，以等角速度ω绕O轴转动，连杆AB＝l，OA垂直于AB，连杆和导路的夹角为α，求滑块B的速度vB。

解：该题的运动分析同例3-2-4，该题应用速度投影法较方便。

如图3-2-15所示将速度矢量图向AB连线上投影，由式（3-2-4）得

则

图3-2-15　速度投影法求曲柄滑块机构速度

3.速度瞬心法

由速度合成定理的基点法可知，平面运动构件上任一点的速度，等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和。求平面图形内各点的速度时，基点的选取是任意的。显然，如果选取图形上速度为零的点作为基点，问题的求解将被简化，此时，图形上各点的速度就等于它随图形绕基点转动的速度。把构件上某瞬时速度为零的点称为构件平面运动在该瞬时的瞬时速度中心，称为速度瞬心。

设某瞬时平面图形的角速度为ω，其上一点A的速度为vA，如图3-2-16所示。以A点为基点，则图形上任一点M的速度vM＝vA＋vMA。将速度vA所沿的半直线绕A点顺图形的转向转过90°，得到半直线AN。从图中看出，半直线AN上任意点M绕基点A转动的速度vMA与vA方向相反，故M点的速度为

由上式可知，随着点M在半直线AN上位置的不同，vM的大小也不同，因此总可以找到一点C，该点在此瞬时的速度等于零。取AC＝vA/ω，则

可以得出结论：任意瞬时，只要平面图形的角速度ω不为零，平面图形或其延伸部分必有速度瞬心。

图3-2-16　平面图形上M点的速度

由上述分析可知，速度瞬心一定存在，且是唯一的，若以速度瞬心C为基点，则平面图形上任一点B的速度为

式（3-2-5）表明，构件平面运动时，其平面图形内任一点的速度等于该点绕瞬心转动的速度。其速度的大小等于构件的平面角速度与该点到瞬心距离的乘积，方向垂直与转动半径，指向转动的一方，这种分析平面构件运动的方法称为速度瞬心法。

瞬心的位置是不固定的，它的位置随时间变化而不断改变，可见速度瞬心是有加速度的。即平面运动在不同的瞬时，有不同的瞬心。否则，瞬心位置固定不变，那就与定轴转动毫无区别了。同样，构件做瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点的加速度是不同的。否则，构件就是做平动了。(www.xing528.com)

确定构件平面运动的瞬心，有以下几种情况：

（1）已知A、B两点的速度方向，过两点速度作垂线，此两垂线的交点，就是速度瞬心，如图3-2-17（a）所示。

图3-2-17　速度瞬心图

（2）若A、B两点速度相互平行，并且速度方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必在连线AB与速度vA和vB端点连线的交点C上，如图3-2-17（b）、（c）所示。

（3）若任意两点的速度互相平行，vA∥vB，且vA＝vB，则速度瞬心在无穷远处，平面图形做瞬时平动。该瞬时运动平面上各点的速度相同，如图3-2-17（d）、（e）所示。

（4）当无滑动的纯滚动时，构件上只有接触点C的速度为零，故该点C为瞬心，如图3-2-17（f）所示。

例3-2-7　如图3-2-18所示，车轮沿直线纯滚动而无滑动，轮心某瞬时的速度为vO水平向右，车轮的半径为R，CM与竖直方向的夹角为α，DK与竖直方向的夹角为β。试求该瞬时轮缘上K、M、D、E各点的速度。

解：由于车轮做无滑动的纯滚动，轮缘与地面的瞬时接触点C是瞬心。由速度瞬心法知，轮心速度vO＝Rω，故车轮该瞬时的平面角速度ω为

轮缘上K、M、D、E点的速度分别为

由上述计算可知，圆上的点与瞬心的连线与竖直方向的夹角越大，点的瞬时速度越大，D点的瞬时速度最大。

例3-2-8　在图3-2-19所示的曲柄摇杆机构中，O1A＝r，AB＝O2B＝2r，曲柄O1A以角速度ω1绕O1轴转动，在图示位置时，O1A⊥AB，∠ABO2＝60°。试求该瞬时摇杆O2B的角速度ω2。

解：（1）运动分析。曲柄O1A和摇杆O2B做定轴转动，连杆AB做平面运动。

因为vA⊥O1A，vB⊥O2B。过A、B两点作vA、vB的垂线，两垂线相交于点C，即杆AB的瞬心。

图3-2-18　车轮的速度

（2）用平面运动的速度瞬心法求解。设连杆AB的平面角速度为ωAB，故vA＝ACωAB，得连杆AB的平面角速度为

所以，得

由构件的定轴转动可知vB＝O2Bω2

所以

图3-2-19　瞬心法求曲柄摇杆机构的角速度

【任务实施】

椭圆规如图3-2-5所示，滑块A、B分别在水平和垂直槽中滑动，并用长度为l的连杆AB连接。已知滑块的移动速度为vA，方向如图3-2-1所示，连杆与水平方向的夹角为α。求滑块B的移动速度vB和连杆AB的角速度vBA。

解：（1）运动分析：滑块A沿水平方向做直线平动，滑块B沿竖直方向做直线平动，连杆AB做平面运动。已知连杆AB上A点的速度vA，方向为水平，所以选A点为基点；滑块B沿竖直方向移动，B点的速度vB，大小未知，方向为竖直方向；vBA大小未知，方向垂直于连杆AB。

（2）应用基点法，合成B点的速度，即vB＝vA＋vBA，作出速度矢量图。由几何关系得

所以

【任务小结】

本任务的主要内容是点的合成运动的概念、点的速度及其合成定理、刚体的平面运动的概念、平面图形上各点的速度合成法。

1.点的合成运动的概念

（1）绝对运动：动点相对于定系的运动；

（2）相对运动：动点相对于动系的运动；

（3）牵连运动：动系相对于定系的运动。

2.速度合成定理

3.刚体平面运动的运动方程

平面图形的运动（即构件的平面运动）可以分解为随同基点的平动（牵连运动）和绕基点的转动（相对运动）。

4.平面图形上点的速度合成法

（1）基点法。

某一瞬时，平面图形内任一点的速度，等于基点的速度与该点相对于基点转动速度的矢量和。

（2）速度投影法。

平面运动的构件，其平面内任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

（3）速度瞬心法。

构件平面运动时，其平面图形内任一点的速度等于该点绕瞬心转动的速度。其速度的大小等于构件的平面角速度与该点到瞬心距离的乘积，方向垂直于转动半径，指向转动的一方。

【实践训练】