构件平面基本运动优化

1.构件的平动

为了研究刚体的平动，先分析两个实例：矿井提升的罐笼如图3-1-1所示。罐笼沿着井筒做上下运动，在罐笼上任取两点A、B并连一直线，罐笼在运动过程中，直线A′B′始终平行于原来的直线AB。

再如摆动筛的筛面运动情况，如图3-1-13所示。筛面AB是通过连杆CD和曲柄OD带动的。筛面两端A、B分别与EA、FB相连，并且AB＝EF，EA＝FB，因此四边形EABF为平行四边形。所以不论筛面运动到什么位置，而A′B′始终与原来位置AB保持平行。

图3-1-13　摆动筛的筛面运动

图3-1-14　刚体的平动

由上述两例的分析，我们看到罐笼和筛面的运动有一个共同的特征：刚体运动时，体内任一直线始终与原来的位置保持平行，这种运动称为刚体的平动。

当刚体做平动时，不难看出刚体上各点的运动轨迹是完全相同的，如罐笼上A、B两点的轨迹AA′与BB′和筛面上的A、B两点的轨迹，各点的每一瞬时速度和加速度也相同（见图3-1-14）。因此，研究刚体的平动时，只需研究刚体上任一点的运动就代表了刚体的运动，刚体的平动可简化为点的运动来研究。

2.构件的定轴转动

在工程实际中还常遇到另一种基本运动形式，如带轮、齿轮、飞轮、电机转子等，这类构件在工作中可以视为刚体，它们在运动中的共同特征是：运动中，体内有一直线始终固定不动，这种运动称为构件的定轴转动。这个固定直线称为转动轴。

1）转动方程

在刚体上任取一垂直于转动轴z的平面S，如图3-1-15所示，平面与转动轴交于固定点O，称为转动中心，由于构件为刚体，可用平面S绕转动中心O点转动表示构件的运动，再在平面S任取一径向直线OM，同理，OM绕转动中心O点的转动就表示构件的运动。取一径向直线Ox固定不动，作为基准，用Ox与OM之间夹角φ表示刚体的转角，单位为弧度（rad）。规定平面S按逆时针方向转动时，转角取正值；顺时针方向转动时，转角取负值。刚体的转角φ随时间t的变化关系为构件的转动方程，即

2）角速度

角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量。设刚体在瞬时t转角为φ，在瞬时t′＝t＋Δt时转角为φ′，如图3-1-16所示。在时间Δt内刚体转过角度为

图3-1-15　刚体的转动方程

图3-1-16　刚体的角速度

式中　Δφ——刚体在时间Δt内的角位移。

在时间Δt内刚体转动的平均角速度，用ωp表示

当Δt趋于零时，平均角速度趋于某一极限值，这个极限值称为刚体在瞬时t的瞬时角速度，用ω表示，

于是得出：瞬时角速度等于转角方程对时间的一阶导数。

角速度的正负号表示刚体的转动方向，规定：刚体按逆时针方向转动时，角速度为正；反之为负。

角速度的单位为弧度/秒（rad/s）。在工程中常采用转/分（r/min）作为转动快慢的单位，称为转速，用n表示。因为一转是2πrad，1min＝60s，所以角速度ω与转速n之间的关系为

3.角加速度

角加速度是表示刚体角速度变化程度的。它也是描述刚体转动情况的一个物理量。

图3-1-17　刚体的角加速度

设刚体在瞬时t时的角速度为ω，在瞬时t′＝t＋Δt时的角速度为ω′＝ω＋Δω（见图3-1-17）。在时间Δt内角速度的变化值为

角速度在时间Δt内变化的平均快慢程度称为平均角加速度。用εp表示，即

当时间间隔Δt趋于零时，平均角加速度趋近于某一极限值，这个极限值称为刚体在瞬时t的角加速度

于是得出：刚体转动时的瞬时角加速度等于角速度对时间的一阶导数，或等于转角对时间的二阶导数。

角加速度的正负号规定：正号表示角加速度为逆时针方向；负号表示角加速度为顺时针方向。角加速度单位为弧度/秒（rad/s2）。

4.转动刚体上各点的速度和加速度

在工程实际中常需要确定转动刚体上点的运动，例如砂轮、带轮等，下面我们来研究刚体转动和刚体上点的运动之间的关系。

1）刚体转动与刚体上点的弧坐标关系

如图3-1-18所示，刚体绕转动中心O转动，轮缘上一点M至转动中心的距离为R，称为转动半径。当刚体转动时，点M将以R为半径做圆周运动。显然刚体转角φ与点M的弧坐标S之间的关系为

图3-1-18　刚体转动与刚体上点的弧坐标

即刚体上任一点的弧坐标等于刚体的转角乘以该点至转动中心的距离。

2）刚体角速度与刚体上点的速度关系

刚体上任一点的速度可由前面讨论过的速度公式（3-1-2）求出，即

而

于是得

在刚体上除转动中心O点外，其他各点均为圆周运动，速度指向与角速度方向一致。于是得：转动刚体上任一点的速度等于刚体的角速度乘以该点的转动半径。速度的方向垂直于转动半径，并指向角速度一方。

由式（3-1-17）可以看出，刚体上各点速度的大小与转动半径成正比，其速度分布情况如图3-1-19所示。

3）刚体的角加速度与刚体上点的加速度的关系(www.xing528.com)

图3-1-19　刚体的角加速度与刚体上点的加速度

设刚体转动某瞬时t的角速度为ω，角加速度为φ。在刚体上任取一点M，其转动半径为R，如图3-1-19所示。当刚体转动时，M点则以O点为圆心做圆周运动。因此其加速度可按点的曲线运动时切向加速度和法向加速度求出，即

于是得：刚体转动时，刚体上任一点的切向加速度等于该点转动半径乘以刚体的角加速度，其方向与转动半径相垂直，并指向角加速度一方；法向加速度等于该点的转动半径乘以角速度的平方，方向指向转动中心。

转动刚体上M点的全加速度的大小为

全加速度的方向可按下式求得：

式中　γ——an与aτ所夹锐角，如图3-1-19所示。

【任务实施】

矿井提升机的滚筒直径d＝6m，启动时滚筒转动方程为φ＝0.2t2，式中转角单位为弧度，时间单位为秒，如图3-1-1所示。试求重物上升时的加速度、启动后10s末时速度和重物上升的高度。

解：重物通过钢绳缠在滚筒的轮缘上，因此重物的速度和加速度等于滚筒轮缘上点的速度和切向加速度。

滚筒的角速度为

重物上升的速度为

重物在10s末的速度为

滚筒的角加速度为

重物上升的加速度为

重物在10s末上升高度H由匀变速运动方程求得

【任务小结】

本任务的主要内容是用自然坐标法、直角坐标法描述点的运动，简单介绍了构件的平面基本运动——平动和定轴转动的基础知识等。

1.用自然坐标法描述点的运动

运动方程：

速度：

加速度：

全加速度：

2.用直角坐标法描述点的运动

运动方程：

速度：

加速度：

全加速度：

3.构件的平动

构件平动时，体内各点的轨迹相同，在同一瞬时，体内各点的速度相同，加速度亦相同。

4.构件的定轴转动

转动方程：

角速度：

角加速度：

5.定轴转动构件内任一点的速度

6.转动构件内任一点的加速度

【实践训练】