质点的运动规律简述

1.自然法

1）运动方程

图3-1-2　点的自然法运动方程

用自然法描述点的运动规律时，按照已知点的运动轨迹，建立自然坐标轴来确定动点的位置。设动点M沿已知轨迹AB运动，如图3-1-2所示，在轨迹上任取一点O为参考原点，在原点两侧分别规定正、负方向。动点在轨迹上的位置，用它到O点的弧长来决定，为代数值，称为动点M的弧坐标，用符号S表示。动点沿轨迹运动时，其弧坐标S可表示为时间t的单值连续函数，即

式（3-1-1）称为自然法表示的点的运动方程。

在研究点的运动时，常遇到路程的概念。路程是指动点在某时间间隔内在轨迹上所走过的弧长。路程与弧坐标的概念不同，路程表示动点在某时间间隔内所走过的距离的绝对值，因此它随时间增加而增加，与参考原点位置的选择无关；弧坐标是表示动点某瞬时位置的一个代数值，它与参考原点位置的选择有关。

如图3-1-3所示，若动点M沿轨迹单向运动时，瞬时t1和t2的弧坐标分别为S1和S2，在时间间隔Δt＝t2-t1内的路程与弧坐标S1和S2的关系为

即某时间间隔内动点的弧坐标的增量的绝对值等于路程。

图3-1-3　自然法点的路程

图3-1-4　例3-1-1图

例3-1-1　点M沿半径r＝10cm的圆周运动，如图3-1-4所示。其运动方程为S＝2t2＋5t-3，弧坐标S的单位为cm，时间t的单位为秒（s），试求初瞬时、第1s、第2s及第3s时点的位置，时间间隔0～1s和1～3s内动点走过的路程。

解：由运动方程可知点在每瞬时的位置。将t＝0，1，2，3分别代入运动方程S＝2t2＋5t-3中，可得

在0～1s和1～3s内动点走过的路程为

2）速度

图3-1-5　自然法点的速度

如图3-1-5所示，动点M沿曲线AB运动，瞬时t动点位于M处，其弧坐标为S。在瞬时t′＝t＋Δt时，动点在M′处，其弧坐标为S′，矢量是动点在Δt时间内的位移，在Δt时间内动点运动的平均速度为

当Δt趋近于零时，M′趋近于M，平均速度趋于某一极限值，该极限值就是动点在位置M处的（瞬时t）的速度，即

当Δt趋近于零时，线段趋近于ΔS，所以上式变为

速度是矢量，平均速度的方向与位移的方向相同，瞬时速度v的方向应与位移趋于零时的极限方向相同，当Δt趋近于零时的方向为曲线在M点的切线方向，并指向运动的方向。

速度的指向，可由的正负号决定。当为正值时，点沿轨迹的正向运动，速度指向轨迹的正向；当为负值时，点沿轨迹的负向运动，速度指向轨迹的负向。

3）加速度

图3-1-6　自然法点的加速度

加速度是表示点运动速度变化快慢的一个重要物理量。在直线运动中，加速度只表示速度大小的变化；在曲线运动中，不仅速度的大小在变化，而且速度的方向也在改变。如图3-1-6所示，在瞬时t和t′，动点M的速度为v和v′，则速度的增量是Δv＝v′-v，此速度增量同时包含速度大小与方向的变化，可将它分解为两部分。在矢量上截取数值等于v的一段OE，连接DE，则Δv分解为Δvn与Δvτ两个分量。Δvn是由于速度v的方向转过vΔφ角所引起的增量；Δvτ则是由于速度v的大小改变所引起的增量，则

将上式除以Δt，并令Δt→0，取各项的极限值，可得加速度为

上式将加速度分解为两个分量。其中分量表示速度的大小随时间的变化程度，以aτ表示；分量表示速度的方向随时间的变化程度，以an表示。

（1）切向加速度aτ。

由上式可得：点的切向加速度其大小等于速度对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数。

切向加速度的方向是在改点的切线方向，指向由导数正负号绝对：正号表示指向轨迹的正方向；反之指向负方向。v与aτ同号时，点做加速运动，反之v与aτ异号时，则作减速运动。

（2）法向加速度an。

其中，表示轨迹在点M处的曲率。因，所以有

于是得：法向加速度an的大小等于速度平方与轨迹在该点的曲率半径之比，方向指向该点的曲率中心。

（3）全加速度a。

因为aτ和an相互垂直，所以全加速度的大小为

全加速度的方向可用a与切线所夹锐角β来表示

图3-1-7　例3-1-2图

例3-1-2　滚筒加速转动时其轮缘上点的运动方程为S＝0.1t3，滚筒半径R＝0.5m，如图3-1-7所示。试求5s时点的速度、加速度。

解：（1）速度v。由式（3-1-2）可得

5s末的速度

（2）切向加速度aτ。由式（3-1-3）得

5s末的切向加速度

（3）法向加速度an。由式（3-1-4）可得

5s末的法向加速度

例3-1-3　摇杆滑道机构中的滑块M同时在摇杆OA的滑道中和半径为R的圆弧槽BC中滑动。如图3-1-8所示，摇杆绕O点转动的规律为φ＝10t。用自然法求滑块M的运动方程、速度和加速度。已知初始状态时摇杆OA在水平位置。

图3-1-8　例3-1-3图

解：（1）求运动方程。选MO为参考原点，逆时针方向为正。滑块M在弧槽内运动，其轨迹可知为以O1点为圆心，O1M为半径的圆弧。则动点M的弧坐标

由几何关系可得(www.xing528.com)

（2）求速度。由式（3-1-2）得

（3）求加速度。由式（3-1-3）得

由式（3-1-4）得

由式（3-1-5）得

由式（3-1-6）得

2.直角坐标法

1）运动方程

在点的运动的平面内取直角坐标系xOy，动点的位置是由坐标x、y来决定，如图3-1-8所示，建立动点M的坐标x、y随时间t变化的函数关系为

图3-1-9　直角坐标运动方程

式（3-1-7）称为点的直角坐标运动方程，求出任一瞬时动点的坐标值x、y，也就确定了动点在该瞬时的位置。

用坐标法确定动点的运动轨迹时，将不同的t值代入运动方程，求出相应的坐标值，便得到各个瞬时相应的动点位置，连接各点所得到的曲线就是动点的运动轨迹。点的轨迹还可以用下述方程表示，即将坐标方程中的时间t消去，所得到的两个坐标之间的函数关系为

图3-1-10　直角坐标法求位移

方程（3-1-8）称为动点的轨迹方程。

2）速度

设动点M在平面xOy内运动，其运动方程为

在瞬时t时，点在M处，其坐标为x、y，在瞬时t′＝t＋Δt时，点在M′处。其坐标为x′、y′，如图3-1-10所示。

由前面可知，点在瞬时t的速度为

将位移分别投影在x、y轴上，得到时间Δt内的位移增量Δx、Δy，且Δx＝x′-x，Δy＝y′-y。

点在Δt时间内、x轴方向的平均速度为

当Δt趋于零时，在x轴上的平均速度的极限值，称为瞬时t动点M在x轴方向的瞬时速度分量，同理可得动点M在y轴方向的瞬时速度分量

由此得速度沿坐标轴的速度分量等于对应坐标对时间的一阶导数。

如图3-1-11所示，若速度沿坐标轴的分量为vx、vy，则速度的大小和方向为

3）加速度

如图3-1-12所示，将加速度a沿x、y轴方向分解为ax、ay，由此得：动点某瞬时的加速度等于x轴方向的加速度分量与y轴方向的加速度分量的矢量和。

全加速度的大小和方向为

图3-1-11　直角坐标法求速度

图3-1-12　直角坐标法求加速度

式中　β——a与x轴所夹锐角，a的指向由ax、ay的正负号决定。

例3-1-4　已知动点的直角坐标方程为

式中，坐标x、y的单位为cm，时间t的单位为s。试求点的运动轨迹，当t＝2s时点的位置、速度和加速度。

解：（1）求点的运动轨迹。

将上式代入x＝2t2-1中，得

将t＝2s代入运动方程，可得2s末点的位置

（2）求速度。

2s末动点的速度vx2、vy2为

（3）求加速度。

2s末动点的加速度ax2、ay2为

例3-1-5　用直角坐标法求图3-1-8所示滑块M的运动方程、速度和加速度。

解：（1）求运动方程。

选取直角坐标系xO1y，O1点为坐标原点，O1MO方向为x轴，与O1MO垂直方向为y轴，则动点M的坐标方程为

即

这里指出x2＋y2＝R2即为坐标法求得动点的轨迹方程。

（2）求速度。

（3）求加速度。