弯曲与扭转组合的变形特征

1.弯曲与扭转组合变形的应力分析

在工程中，一般的轴在承受扭转的同时还承受弯曲，如图2-5-2所示的减速器中的输出轴，即发生弯曲与扭转的组合变形。下面介绍弯扭组合变形时的强度计算问题。

为了便于分析，选用一端固定，另一端自由的实心圆杆为例，如图2-5-5（a）所示。力F向AB杆端横截面的形心简化后分成一作用于杆上的横向力F′和在杆端横截面内力矩为m的力偶。其中F′＝F，使杆发生弯曲；m＝Fr，使杆发生扭转，如图2-5-5（b）所示。作杆AB的弯矩图和扭矩图，如图2-5-5（c）、（d）所示。由图可知，杆的固定端横截面是危险截面。

由于在危险截面的两点C1和C2处[见图2-5-5（e）]有最大弯曲正应力

而在该截面的周边上各点处[见图2-5-5（f）]都有最大扭转剪应力

如果对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的圆杆，C1和C2两点应力相等，都是危险点，故只需取其中一点C1来研究即可。

围绕C1点用横截面、径截面和平行于表面的截面截出一个单元体，其各面上的应力如图2-5-5（g）所示。C1点的应力准则为

图2-5-5　弯扭组合变形

将弯曲正应力σmax＝Mmax/Wz和扭转切应力τmax＝Tmax/WP代入上式，并用圆截面的抗弯截面系数Wz代替抗扭截面系数WP，WP＝2Wz，得弯扭组合变形时的强度准则为

2.弯曲与扭转组合变形的强度计算

应用上述强度准则，解题时应按照下列步骤进行：

（1）简化外力。将外力简化为作用在水平平面和垂直平面内的两组外力。

（2）作弯矩图和扭矩图。分别画出水平面弯矩图和垂直面弯矩图。在求弯矩的合成值时，相同平面内的弯矩按代数和相加，相互垂直平面内的弯矩按照矢量和相加。

（3）找危险截面和求相当弯矩。根据作出的弯矩图和扭矩图判断危险截面。若危险截面可能有几个，则应分别校核。

（4）进行强度计算。按式（11-3）、式（11-4），解决强度计算的三类问题。

【任务实施】

图2-5-6　轴的受力、弯矩、矩图

已知单级斜齿圆柱齿轮减速器的输出轴，齿轮经常正反转，齿轮承受的圆周力Ft2＝2 656N，径向力Fr2＝985N，轴向力Fa2＝522N，轴上承受的扭矩T＝472772N·mm，安装齿轮的轴段直径d＝50mm，两轴承之间的距离l＝151mm，齿轮相对于两端轴承对称布置，右端轴承到轴端的长度为70mm，材料的许用应力[σ]＝50N/mm2，按弯扭组合校核轴的强度。

（1）作出轴的计算简图[见图2-5-6（a）]。

（2）求水平面弯矩MH，作水平面弯矩图[见图2-5-6（b）]。

求两端支座反力为（N）

截面C的水平面弯矩为

（3）求垂直平面弯矩MV，作垂直平面弯矩图[见图2-5-6（c）]。

支座反力为-123（N）(www.xing528.com)

截面C左侧的垂直平面弯矩为

截面C右侧的垂直平面弯矩为

（4）求合成弯矩，作合成弯矩图[见图2-5-6（d）]。

截面C左侧合成弯矩为

截面C右侧合成弯矩为

（5）求转矩T，作转矩图[见图2-5-6（e）]。

（6）求当量弯矩，作当量弯矩图[见图2-5-6（f）]，找出危险截面的弯矩，为

（7）校核轴的强度。

由式（11-3）得

所以强度足够。

【任务小结】

在工程中，许多构件在外力作用下，往往包含两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。

分别计算每一种基本变形各自引起的应力和变形，然后求出这些应力和变形的总和，即构件在原载荷作用下的应力和变形。这就是叠加原理。

1.拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算：

2.弯曲与扭转组合变形的强度计算：

【实践训练】

2-5-1偏心拉（压）实际上是________和________的组合作用。

2-5-2水塔在风载荷和自重作用下，产生________和________变形。

2-5-3分析图2-5-7所示杆件AB、BC、CD段分别是哪几种基本变形的组合。