工程实际中，梁除了应有足够的强度外，还必须具有足够的刚度，即在载荷作用下梁的弯曲变形不能过大，否则梁就不能正常工作。齿轮轴如图2-4-26（a）所示，若弯曲变形过大，如图2-4-26（b）所示，会影响齿轮的正常啮合以及轴与轴承的正常配合，造成传动不平稳，加速轴与齿轮的磨损，并导致所在设备工作精度降低，寿命下降。因此，工程中对梁的变形有一定要求，即其变形量不能超出工程容许的范围。
图2-4-26 齿轮轴
图2-4-27 梁的转角
1.挠度和转角
度量梁变形的基本物理量是挠度和转角。悬臂梁如图2-4-27所示，在梁的纵向对称平面内作用力F，其轴线弯成一条平面曲线。变形时，梁的每一个横截面绕其中性轴转动了不同的角度，同时每个横截面形心产生了不等的位移。
1）挠度
梁的任一横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移称为挠度，用y表示。在图2-4-27所示的坐标系中，规定挠度y向上为正，反之为负。实际上，由于轴线在中性层上长度不变，所以横截面形心产生垂直位移时还伴有轴线方向的位移，因其极微小，可忽略不计。
2）转角
梁的任一横截面绕中性轴转过的角度称为该截面转角，用θ表示。在图2-4-27所示的坐标系中，规定转角θ逆时针为正，反之为负。
3）挠曲线方程
梁发生平面弯曲后，其各个横截面形心的连线，是一条连续光滑的平面曲线，称其为挠曲线。若以梁的轴线为x坐标轴（见图2-4-27），挠曲线可表示为截面坐标x的单值连续函数，即挠曲线方程
在图2-4-27中，过C1点作挠曲线的切线tt，显然其与x轴夹角为θ。由微分学可知
由于挠曲线非常平坦，θ角很小，所以tanθ≈θ，故有
，称为转角方程，即梁的挠曲线上任一点的斜率等于该点处横截面的转角。
综上所述，只要确定了梁的挠曲线方程，即可求得任一横截面的挠度和转角。
但是，建立挠曲线方程比较困难，一般通过建立挠曲线的近似微分方程，再通过积分运算求出挠度和转角。但是通过积分求变形比较麻烦，为了便于应用，将常见梁的变形计算结果汇总成表，以备查用。表2-4-3给出了简单载荷作用下梁的变形计算公式。利用这些公式，可根据叠加原理求出梁的变形。
表2-4-3 梁在简单载荷作用下的变形
续表
2.用叠加法求梁的变形
当梁上同时受到几个载荷作用时，在小变形及材料服从胡克定律的条件下，每个载荷引起的变形是相互独立的，因此梁截面的总变形就等于每个载荷单独作用时所产生的变形的代数和，这种方法称为叠加法。
例2-4-11 简支梁如图2-4-28所示，已知EIz、l、M、q，试用叠加法求C截面的挠度和B截面的转角。
解：将梁上载荷分解为q和M单独作用的两种情况，如图2-4-28（b）、（c）所示。
查表2-4-3得：在q单独作用时，
在M单独作用时，
利用叠加法，即得q和M共同作用时C截面的挠度和B截面的转角分别为
图2-4-28 用叠加法求简支梁的挠度和转角
例2-4-11 悬臂梁如图2-4-29（a）所示，已知EIz、l、F、q，试用叠加法求梁的最大挠度和最大转角。
解：将梁上载荷分解为q和F单独作用的两种情况，如图2-4-29（b）、（c）所示。从悬臂梁在载荷作用下自由端有最大变形可知，梁B端有最大挠度和最大转角。
查表2-4-3，由叠加法得梁的最大挠度为
梁的最大转角为
图2-4-29 用叠加法求悬臂梁的最大挠度和最大转角
3.梁的刚度计算
研究梁的变形，目的是要对梁进行刚度校核。实际工程中，为避免梁因弯曲变形过大而造成事故，常规定梁的最大挠度和最大转角不能超过许用值。即梁的计算准则为
式中
——梁的最大挠度和最大转角的绝对值；
[y]、[θ]——梁的许用挠度和许用转角，其值可根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。
在设计梁时，一般应使其先满足强度条件，再校核刚度。若刚度不够，再考虑重新设计。
例2-4-12 图2-4-30为机床空心主轴的平面简图。已知轴的外径D＝80mm，内径d＝40mm，梁跨长l＝400mm，a＝100mm，材料的弹性模量E＝210GPa，设切削力在该平面上的分力为F1＝2kN，齿轮啮合力在该平面上的分力为F2＝1kN。若轴C端的许用挠度[yC]＝0.0001l，B截面的许用转角[θB]＝0.001rad。设全轴（包括BC段工件部分）近似为等截面梁，试校核机床主轴的刚度。
解：（1）求主轴的惯性矩。
（2）建立主轴的力学模型[见图2-4-30（b）]。分别画出在F1、F2单独作用时梁的变形，如图2-4-30（c）、（d）所示。应用叠加法分别计算C截面的挠度和B截面的转角为
图2-4-30 机床主轴的变形图
（3）校核主轴的刚度
主轴的许用挠度为
主轴的许用转角为
因此，有
故满足刚度要求。
【任务实施】
桥式起重机大梁如图2-4-31（a）所示，由40b工字钢制成，跨长l＝12m，材料的许用应力[σ]＝140MPa，电葫芦自重G＝0.5kN，梁的自重不计，求梁能承受的最大起吊重量F。(www.xing528.com)
解：起重机大梁可简化为图2-4-31（b）所示的简支梁，电葫芦移到梁跨长的中点时，梁跨长的中点截面有最大弯矩，该截面为梁的危险截面，弯矩图如图2-4-31（c）所示，最大弯矩为
图2-4-31 桥式起重机大梁
由强度条件
得
查本书后的附录型钢表中的40b工字钢，得Wz＝1140cm3，代入上式得
故梁能承受的最大起吊重量为F＝52.7kN。
【任务小结】
本任务的主要内容是梁的内力分析与计算、应力分析与强度计算、梁的变形及刚度计算等。
1.直梁平面弯曲概念
直梁平面弯曲的受力与变形特点：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁轴线弯成一条平面曲线。
2.梁的力学模型
梁的力学模型包括梁的简化、载荷的简化和支座的简化。静定梁的基本力学模型分为简支梁、外伸梁、悬臂梁。
3.弯曲内力——剪力FQ和弯矩M
剪力FQ：平行于截面的内力。
弯矩M：垂直于截面的内力偶矩。
弯曲内力的正负规定：剪力左上右下为正，反之为负。弯矩左顺右逆为正，反之为负。
求梁横截面内力的简便方法如下：
FQ（x）＝左（或右）段梁上外力的代数和，左上右下为正。
M（x）＝左（或右）段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正。
4.用剪力、弯矩方程画剪力图弯矩图
1）剪力、弯矩方程
2）剪力、弯矩图——剪力方程和弯矩方程表示的函数图象。
5.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处：剪力图有突变，弯矩图有折点。
（2）无外力梁段上：剪力图保持常量，弯矩图为斜直线。
（3）集中力偶作用处：剪力图不变化，弯矩图有突变。
（4）均布载荷作用的梁段上：剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。
6.弯矩M（x）、剪力（x）、载荷集度q（x）间的微分关系
梁的弯矩、剪力、载荷集度间的微分关系：
7.用剪力图面积求任意x截面弯矩
任意x截面的弯矩M（x）＝0→x截面剪力图的面积加上（0→x）梁段上集中力偶矩的代数和，力偶矩顺时针为正。
8.纯弯曲M≠0，FQ＝0与横力弯曲M≠0，FQ≠0
9.纯弯曲正应力公式
结论1：（1）各横截面绕中性轴转动了不同的角度，相邻横截面产生了相对转角dθ；（2）截面间纵向纤维发生拉伸和压缩变形，横截面有正应力；（3）横截面上、下边缘有最大的正应力。
结论2：弯曲正应力与截面弯矩M成正比，与该点到中性轴的距离y坐标成正比，而与截面对中性轴z的惯性矩IZ成反比。
10.强度计算
11.弯曲切应力
截面上、下边缘切应力为零，中性轴有最大切应力。
对于短跨梁、薄壁梁或承受较大剪力的梁，其弯曲切应力强度准则为τmax≤[τ]。
12.降低梁的最大弯矩
（1）集中力远离简支梁中点；
（2）将载荷分散作用；
（3）简支梁支座向梁内移动。
13.提高抗弯截面系数
（1）选择合理的截面形状：圆形＜矩形＜圆环＜框形＜工字形；
（2）根据材料性能选择截面：塑性材料宜上、下对称于中性轴的截面形状；脆性材料宜上、下不对称于中性轴的组合截面形状。
14.等强度梁
15.挠度和转角
（1）挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移。
（2）转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。
（3）挠曲线方程：挠曲线表示为截面坐标x的函数，即y＝f（x）。
16.求梁的变形
（1）用积分法求梁的变形；
（2）用叠加法求梁的变形。
17.梁的刚度计算
【实践训练】
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