等直圆轴扭转变形及刚度条件分析

1.圆轴扭转时的变形

轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角φ表示，研究表明，相对扭转角φ与轴承受的扭矩T、轴的长度l成正比；与轴材料的切变模量G和极惯性矩Ip成反比，即

式中　GIp——圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。

若两横截面之间T有变化，或极惯性矩Ip变化，抑或材料不同（切变模量G变化），则应通过分段计算出各段的扭转角，然后代数相加。

2.圆轴扭转刚度条件

工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对刚度也有一定要求，由于φ与长度l成正比，所以不能只根据φ判断轴的刚度是否足够。所以对轴的刚度常用相对扭转角沿杆长度的变化程度来度量，称为单位长度扭转角，用θ表示，所以轴的刚度条件为

在工程中，[θ]的单位习惯用（°）/m（度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得

许用扭转角[θ]的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素，查阅有关手册确定。

例2-3-2　图2-3-7所示轴的直径d＝50mm，切变模量G＝80GPa，计算该轴两端面间的扭转角。

图2-2-7　例2-3-2图

解：（1）作扭矩图，如图2-3-7（b）所示。

（2）求极惯性矩。

（3）求扭转角。

两端面之间扭转角φAD为

例2-3-3　某传动轴的传递功率P＝60kW，转速n＝250r/min，许用切应力[τ]＝40MPa，许用单位长度扭转角[θ]＝0.5°/m，切变模量G＝80GPa。试计算传动轴所需的直径。

解：（1）计算轴的扭矩

（2）根据强度条件求所需直径

（3）根据圆轴扭转的刚度条件，求直径

故应按刚度条件确定传动轴直径，取d＝76mm。

【任务实施】

汽车传动轴如图2-3-1所示，由45号钢的无缝钢管制成，外径D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，工作时的最大力偶矩M＝1.5kN·m，若材料的许用切应力[τ]＝60MPa。求：（1）校核该轴的强度；（2）若改用材料相同的实心圆轴，设计其直径d；（3）比较实心轴和空心轴的重量。

解：（1）校核轴的强度。

传动轴的内外径比

抗扭截面系数为

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最大扭矩与最大外力偶矩相等，即T＝M＝1.5N·m，由强度条件得

所以传动轴强度足够。

（2）设计实心轴直径d。

由强度条件得

（3）比较实心轴重量G1和空心轴的重量G2。

由强度条件得，当α＝0.944时，空心轴的最小外径为

内径为d1＝Dα＝85×0.944＝80（mm）

由于材料均匀，所以重量之比即为体积之比，体积之比即为面积之比，即

此题结果表明，在其他条件相同的情况下，实心轴重量是空心轴重量的3倍，空心轴节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部分材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大Ip或Wp，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱褶而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。

【任务小结】

本任务的主要内容是圆轴的扭转内力——扭矩、应力分析与强度计算、等直圆轴扭转时的变形及刚度计算等。

1.外力偶矩的计算

2.扭转内力——扭矩T

扭矩：圆轴扭转时横截面的内力偶矩。

结论1：两个外力偶矩作用截面之间各个截面的扭矩值相等。

结论2：圆轴任意截面的扭矩T（x），等于截面一侧（左段或右段）轴段上所有外力偶矩的代数和。

结论3：扭矩图的简便画法——从轴的左端画起，外力偶矩作用截面处，扭矩图有突变，突变幅值等于外力偶矩大小，突变方向沿外力偶矩箭头方向；在无外力偶矩作用的轴段上，扭矩保持常量。

3.扭转应力

4.极惯性矩及抗扭截面系数

（1）实心圆截面：

（2）空心圆截面：

5.圆轴扭转强度条件

6.圆轴扭转时的变形（相对扭转角）

7.圆轴扭转刚度条件

【实践训练】