轴向拉伸或压缩的概念解析

轴向拉伸或轴向压缩变形是杆件基本变形之一。轴向拉伸或压缩变形的受力及变形特点是，杆件受一对大小相等、方向相反、作用线沿杆件轴线方向的力的作用，杆件伸长或缩短，称为拉伸或压缩。我们把发生轴向拉伸（压缩）的杆件简称为拉（压）杆。轴向拉伸或压缩的杆件的端部可以有各种连接方式，如果不考虑其端部的具体连接情况，其计算简图均可简化为图2-1-5所示结构。

图2-1-5　轴向拉伸和压缩的概念

1.轴力

根据内力的概念，我们知道内力可能沿任何方向作用，但如果内力沿着构件的轴线方向，我们就把这个内力称为轴力，用FN表示。区别于轴向力，轴向力是构件所受的外力，此外力沿着轴线方向；但轴力是构件内部的力，即内力。

图2-1-6　拉（压）杆横截面上的内力

图2-1-6（a）所示为一受拉杆件的力学模型，为了确定其横截面的轴力，沿截面m—m把杆件截开，分为左、右两段，取其中任意一段为研究对象。杆件在外力作用下处于平衡，则左、右两段也必然处于平衡。左段上有力F和截面内力作用[见图2-1-6（b）]，由二力平衡条件，该内力必与外力F共线，且沿杆件的轴线方向，则为轴力FN。由平衡方程可求出轴力的大小为

同理，右段上也有外力F和截面内力，[见图2-1-6（c）]，满足平衡方程。因FN与是一对作用力与反作用力，必等值、反向和共线。因此取左段求出的轴力FN，还是取右段求出的内力，都表示m—m截面的内力。拉杆的轴力正负规定为：背离截面方向的轴力为正，指向截面的轴力为负。

2.轴力图

为了形象地表明各截面轴力的变化情况，以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为横坐标x轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值绘在基线下方，绘制轴力随截面x变化的曲线图称为轴力图，如图2-1-6（d）所示。

例2-1-1　杆件受力如图2-1-7所示，画出该杆件的轴力图。

解：（1）内力分析。在AB段任取截面m—m假想将杆截开，设取左段为研究对象[见图2-1-7（b）]，假定该截面上的轴力为FN1，且为正。由平衡方程

得

负号表示FN1的实际方向与所设的方向相反，截面受压。

同理，在BC段任取截面n—n假想将杆截开，设取左段为研究对象[见图2-1-7（d）]，以FN2代表该截面上的轴力，且为正。由平衡方程

得

（2）绘制轴力图。杆AB间所有截面的轴力都相等，都等于FN1，FN1为负，所以AB之间的轴力图为一在基线下方的水平直线；杆BC间所有截面的轴力都相等，都等于FN2且为正，所以BC之间的轴力图为一在基线上方的水平直线，如图2-1-7（c）所示。

由上例可知，杆件任一截面的轴力FN（x），等于截面一侧左段（或右段）杆件上轴向外力的代数和。左段向左（或右段向右）的外力产生正轴力，反之产生负轴力。

例2-1-2　一杆及其受力情况如图2-1-8（a）所示，F1＝16kN，F2＝10kN，F3＝20kN，作杆的轴力图。

图2-1-7　例2-1-1图

解：（1）求约束反力。

由平衡方程FD-F3-F2＋F1＝0，得FD-20kN-10kN＋16kN＝0，求得FD＝14kN

（2）内力分析。

求AB段轴力，假想在AB段任一截面1—1处截断，取右段[见图2-1-8（b）]，并设轴力FN1为正。由平衡方程得

结果为正，故FN1为拉力。

求BC段轴力，假想在BC段任一截面2—2处截断，取右段[见图2-1-8（c）]，设轴力FN2为正。由平衡方程得

结果为正，故FN2为拉力。

若取左段[见图2-1-8（d）]，设轴力FN2为正。由平衡方程得

结果与取右段相同。

求CD段轴力，假想在CD段任一截面3—3处截断，取左段[见图2-1-8（d）]，并设轴力FN3为正。由平衡方程得

结果为负值，故FN3为压力。(www.xing528.com)

（3）作轴力图。AB段轴力16kN，轴力图为在基线上方的水平直线；BC段轴力为6kN，轴力图为在基线上方的水平直线；CD段轴力为-14kN，轴力图为在基线下方的水平直线。

3.拉（压）杆的应力

同种材料制成粗细不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，杆内的轴力相同。随着拉力增大，细杆将首先被拉断。这说明只凭内力不能判断构件的强度，杆件的强度不仅取决于内力的大小，而且与截面面积的大小有关，即构件的强度取决于内力在截面上分布的密集程度。为此引入应力的概念。内力在截面上的集度称为应力，垂直于截面的应力称为正应力，平行于截面的应力称为切应力。

图2-1-8　例2-1-2图

图2-1-9　拉（压）杆横截面上的应力

4.拉（压）杆横截面上的应力

图2-1-9（a）所示为一等截面直杆，假定在未受力前在该杆侧面作相邻的两条横向线ab和cd，然后使杆受拉力F作用发生变形，如图2-1-9（b）所示，并可观察到两横向线平移到a′b′和c′d′的位置且仍垂直于轴线。这说明，杆件的任一横截面上各点的变形是相同的，即变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。根据这一假设，横截面上所有各点受力相同，内力均匀分布，方向垂直于横截面，如图2-1-9（c）所示。

式中，FN为轴力；A为杆的横截面面积。由式（7-1）知，正应力的正负号取决于轴力的正负号，若FN为拉力，则σ为拉应力；若FN为压力，则σ为压应力，并规定拉应力为正，压应力为负。

5.拉（压）杆的强度计算

为保证拉（压）杆在外力作用下能够安全、可靠地工作，必须使构件横截面的应力小于或等于构件材料的许用应力。当构件各截面的应力不等时，应使构件截面上的最大工作应力小于或等于材料的许用应力。这一条件称为强度设计准则，即

式中，[σ]为许用应力。应用式（7-2）可以解决以下三类计算问题。

（1）校核强度。已知作用外力F、横截面积A和许用应力[σ]，计算出最大工作应力，验算是否满足强度准则，从而判断构件是否能够安全、可靠地工作。

（2）设计截面尺寸。已知作用外力F、许用应力[σ]，由强度准则计算出截面面积A，即，然后根据要求的截面形状，设计出构件的截面尺寸。

（3）确定许可载荷。已知构件的截面面积A、许用应力[σ]，由强度准则计算出构件所能承受的最大内力FNmax，即9FNmax≤[σ]A，再根据内力与外力的关系，确定出杆件允许的最大载荷F。

离合器踏板

例2-1-3　汽车离合器踏板如图2-1-10所示，已知踏板所受压力为FQ＝400N，拉杆1的直径D＝9mm，杠杆臂长L＝330mm，l＝56mm，拉杆的许用应力[σ]＝50MPa。试校核拉杆1的强度。

解：（1）计算拉杆1上的拉力FP。

图2-1-10　例2-1-3图

由平衡方程∑MO（F）＝0　可得　FQL-FPl＝0

（2）校核拉杆1的强度。

拉杆1两端受到FP＝2357N的拉力作用发生拉伸变形，拉杆1中间各截面的轴力FN＝FP＝2357N，由强度条件可知

故拉杆1的强度足够。

图2-1-11　例2-1-4图

例2-1-4　如图2-1-11（a）所示，重物由钢丝和铜丝结构悬挂在C点，已知G＝200N，铜丝和钢丝的许用应力分别为[σ]1＝100MPa和[σ]2＝240MPa，α＝30°。求铜丝和钢丝的最小直径d1和d2。

解：（1）受力分析，绘制受力图如图2-1-11（b）所示。

（2）列平衡方程，求钢丝和铜丝的拉力。

铜丝所受的拉力为FN1＝G＝200N

将式（a）代入式（b）解得

（3）求铜丝和钢丝的最小直径d1和d2。

由强度条件得