物体重心与平面图形形心的差别

重心在日常生活和实际工程中具有重要的意义。例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。本节介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。

1.平行力系的中心

在研究平行力系对物体的作用时，不仅需要知道平行力系合力的大小，还需要确定合力作用点，该点我们称为平行力系中心。

设空间平行力系由F1、F2，…，Fn构成，可以证明：平行力系合力的作用点位置仅与各平行力的代数值和作用点的位置有关，而与平行力系整体的方向无关，且平行力系中心的坐标为

上式中，xi、yi、zi为分力Fi作用点的坐标。

2.物体的重心

地球表面附近的物体，都受到地球引力的作用。物体受到的地球引力是空间分布力系，这些力可近似地看做空间平行力系，此平行力系的中心即是物体的重心，该力系的合力G即为物体的重力。

图1-5-13　物体的重心

下面根据合力矩定理建立重心的坐标公式。如图1-5-13所示，取直角坐标系Oxyz，其中z轴平行于物体的重力，将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为ΔGi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，设物体的重心以C表示，重心的坐标为C（xC、yC、zC）。

重力G对于y轴合力矩定理

重力G对于x轴合力矩定理（利用右手螺旋法则判断合力矩方向，此处为负）

由于重力G此时与z轴平行，故为了求坐标zC，可将物体连同坐标系一起绕x轴逆时针旋转90°，这时重力G与Gi都平行于y轴，并与y轴反向，如图1-5-13所示中带箭头的虚线所示。然后再对x轴应用合力矩定理G·zC＝ΔG1z1＋ΔG2z2＋…＋ΔGnzn＝∑ΔGi·zi，有zC＝

由上式可以知道物体的重心坐标为

其中G＝∑ΔGi。

若物体为均质体，质量密度为ρ，体积为V，以ΔVi表示微小部分Mi的体积，则G＝ρVg，ΔGi＝ρΔVi，重心公式为

由式（1-5-10）可见，均质物体的重心位置与物体的重量无关，完全取决于物体的几何形状。所以，均质物体的重心就是其几何中心，式（1-5-10）亦称为形心坐标公式。确切地说，由式（1-5-9）所确定的点称为物体的重心；由式（1-5-10）所确定的点称为几何形体的形心。对于均质物体，其重心和形心重合在一点上。非均质物体的重心与形心一般是不重合的。

如果物体沿z方向是均质等厚平板，设厚度为δ，ΔA表示微小部分Mi的面积，则ΔVi＝ΔAiδ，V＝Aδ，其重心（形心）坐标为

3.求重心的方法

前面所述的重心和形心坐标公式，是确定重心或形心位置的基本公式。在实际问题中，可视具体情况灵活应用。下面介绍几种工程中常用的确定重心位置的方法。

1）对称法

对于匀质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。

若物体具有两个对称截面，则重心在两个对称面的交线上；若物体有两根对称轴，则重心在两根对称轴的交点上。如球心是圆球的对称点，同时也是它的重心或形心；矩形的形心就在两个对称轴的交点上。

2）组合法

工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体组成的，这些简单形体的重心通常是已知的或易求的，这样整个组合形体的重心就可用式（1-5-9）直接求得。这种方法称为组合法或分割法。一般简单形体的重心坐标可在工程手册中查阅。表1-5-1列出了几种常用物体的重心（形心），可供查用。

表1-5-1　几种常用物体的重心

续表

图1-5-14　悬挂法测重心

3）实验法（平衡法）

若物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用以下方法来确定。

（1）悬挂法。对于形状复杂的薄平板，确定重心位置时，可将板悬挂于任一点A，如图1-5-14（a）所示。根据二力平衡定理，板的重力与绳的张力必在同一直线上，故物体的重心一定在铅垂的挂绳延长线AB上。重复使用上法，将板挂于D点，可得DE线。显然，平板的重心即为AB与DE两线的交点C，如图1-5-14（b）所示。

（2）称重法。对于形状复杂的零件、体积庞大的物体以及由许多构件组成的机械，常用此法确定其重心的位置。例如，连杆本身具有两个相互垂直的纵向对称面，其重心必在这两个平面的交线，即连杆的中心线AB上，如图1-5-15所示。其重心在x轴上的位置可用下法确定：先称出连杆的重量W，然后将其一端支于固定支点A，另一端支于磅秤上。使AB处于水平位置，读出磅秤上读数FNB，并量出两支点间的水平距离l，则列平衡方程为∑MA＝0，即FNBl-WxC＝0，得

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例1-5-6　角钢截面的尺寸如图1-5-16所示，试求图示角钢截面的形心坐标。

解：依题意有，整个图形可视为由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，建立图1-5-16所示的Oxy直角坐标系，则由图可知，矩形Ⅰ和Ⅱ的面积及相应的形心坐标为

第一个矩形的面积和形心C1的坐标为

图1-5-15　称重法测重心

图1-5-16　例1-5-6图

第二个矩形的面积和形心C2的坐标为

由式（1-5-11）可得截面的形心坐标为

【任务实施】

如图1-5-1所示，电动机通过联轴器传递驱动转矩M＝20N·m来带动带轮轴。已知带轮直径d＝160mm，距离a＝200mm，皮带斜角α＝30°，带轮两边拉力FT2＝2FT1。试求A、B两轴承的约束反力。

解：（1）受力分析。取轮轴为研究对象，画出受力图，如图1-5-1所示。

（2）取轴线为y轴，建立坐标系。

（3）列平衡方程并求解。

由FT2＝2FT1，得

【任务小结】

本任务的主要内容是空间力系的相关知识。

1.力在空间直角坐标轴上的投影

2.力对轴之矩

力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。

3.合力矩定理

力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。

4.空间力系的简化

主矢F′R的大小为：

主矩MO的大小为：

5.空间力系平衡方程

空间任意力系的平衡方程

6.物体重心的概念

将物体分割为每个微重力△Gi，构成一个平行力系。此平行力系的中心即物体的重心。

7.重心的坐标公式

重心坐标xC＝

【实践训练】