空间力系平衡方程的优化方法

1.空间力系的简化

设物体作用空间力系F1，F2，…，Fn，如图1-5-9（a）所示。与平面任意力系的简化方法一样，在物体内任取一点O为简化中心，由力的平移定理可知，将图中各力平移到O点时，都必须同时附加一个相应的力偶，其力偶矩矢等于该力对简化中心O之矩，如图1-5-9（b）所示。这样就可得到一个作用于简化中心O点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系。

将作用于简化中心O点的空间汇交力系和空间力偶系分别合成，便可以得到一个作用于简化中心O点的主矢F′R和一个主矩MO，如图1-5-9（c）所示。

主矢的大小为

主矢是原力系中各力的矢量和，因此与简化中心的选取无关。

主矩MO的大小为

图1-5-9　空间力系的简化

主矩MO等于原力系中各力对简化中心O之矩的矢量和，可见主矩MO一般与简化中心的选取有关。

2.空间力系的平衡方程

在空间受力运动的物体可能有以下几种运动情况，如图1-5-10所示，即沿x、y、z轴方向的移动和绕x、y、z轴的转动（6个自由度）。

图1-5-10　空间力系的平衡方程

物体在空间力系中平衡的充要条件是既不能沿x、y、z三轴方向移动，也不能绕x、y、z三轴转动。若物体沿x轴方向不能移动，则此空间力系各力在x轴上投影的代数和为零，即∑Fx＝0；同理，如物体沿y、z轴方向不能移动，则力系中各力在y、z轴上投影的代数和也必为零，即∑Fy＝0，∑Fz＝0。若物体不能绕x轴转动，则空间力系中各力对x轴之矩的代数和为零，即∑Mx（F）＝0；同理，若物体不能绕y、z轴转动，则空间力系中各力对y、z轴之矩的代数和也必为零，即∑My（F）＝0，∑Mz（F）＝0。由此得到空间任意力系的平衡方程为

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于是得到如下结论：空间任意力系平衡的充分必要条件是所有各力在三个坐标轴中每个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零。

式（1-5-8）包含6个方程式，由于它们是空间力系平衡的充要条件，当六个方程式都能满足，则物体必处于平衡，因此如再加写更多的方程式，都不是独立的。空间力系只有六个独立的平衡方程，可求解六个未知量。前三个方程式称为投影方程式，后三个方程式称为力矩方程式。

空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由空间任意力系的平衡方程可以推出以下方程。

1）空间汇交力系的平衡方程

由于空间汇交力系对汇交点的主矩恒为零（MO≡0），故其平衡方程为

2）空间平行力系的平衡方程

不失一般性，假设该力系的各力平行于z轴，则平衡方程为

需要指出的是，空间汇交力系、空间平行力系都只有三个独立的平衡方程，故只能解三个未知量。

例1-5-4　三轮推车如图1-5-11所示。已知AH＝BH＝0.5m，CH＝1.5m，EH＝0.3m，ED＝0.5m，所载重物的重量G＝1.5kN，作用在D点，推车的自重忽略不计。试求A、B、C三轮所受的压力。

解：（1）受力分析。取小车为研究对象，小车受已知载荷G和未知的A、B、C三轮的约束反力FNA、FNB、FNC作用，这些力构成一空间平行力系，受力如图1-5-11所示。

（2）建立坐标系，如图1-5-11所示。

（3）列平衡方程式并求解。

图1-5-11　例1-5-4图