如何计算力对轴的矩？

1.力对轴之矩

在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转动的效果，我们引入力对轴之矩的概念。这里从用手推门的实例来引入力对轴之矩的定义。

图1-5-6　力对轴之矩

如图1-5-6所示，在门的A点作用一力F，与过A点且与z轴垂直的平面S的夹角为β，不失一般性，将S平面设为坐标Oxy平面。为了研究力F使门绕z轴转动的效应，可把推门的力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的平面内的分力Fxy，Fxy大小或等于F在垂直与z轴的平面上的投影。由经验可知，分力Fz不能使静止的门转动，所以力Fz对z轴的力矩为零；只有分力Fxy才能使静止的门绕z轴转动，力F对z轴之矩等于分力Fxy对z轴之矩。现用符号Mz（F）表示力F对z轴之矩，点O为Fxy所在平面Oxy平面与z轴的交点，d为点O到Fxy作用线的距离。因此力F对z轴之矩为

式（1-5-4）表明，空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面交点之矩。

力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，其单位为N·m，是一个代数量，正负号表示力对轴之矩的转向。正负号可用右手螺旋法则来判定：伸出右手，拇指指向转动轴的正向（图1-5-6中则为z轴，转轴的选取视情况而定），四个手指的转向若与力F使物体转动的方向相同，即为正，相反即为负；也可从转轴正向看物体的转动，使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负，如图1-5-7所示。

图1-5-7　力矩的正负

从式（1-5-4）可以看出，有两种特殊的情况使力对轴之矩等于零，即

（1）当力与轴相交时，即力通过轴线（此时d＝0），力对轴之矩Mz（F）＝0；

（2）当力与轴平行时，（此时Fxy＝0）时，力对轴之矩Mz（F）＝0。

2.合力矩定理(www.xing528.com)

在平面问题中所定义的力对平面内某点O之矩，实际上就是力对通过此点且与平面垂直的轴之矩。因此在平面力系中，推证过的合力矩定理在空间力系中同样适用。例如，有一空间力系由F1，F2，…，Fn组成，其合力为FR，则可证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和，即

式（1-5-5）即空间力系的合力矩定理。应用此式时，要注意力矩的正负。

3.力对轴之矩的计算

图1-5-8　例1-5-3图

在计算力对某轴之矩时，经常应用合力矩定理，将力分解为三个方向的分力，然后分别计算各分力对这个轴之矩，求其代数和，即得力对该轴之矩。

例1-5-3　图1-5-8所示为某手摇曲柄，AB＝100mm，BC＝150mm，CD＝50mm，AB与BC垂直，BC与CD垂直，力F作用在D点，F＝1000N，求F对z轴的力矩。

解：依题意有

（1）设F与Oxy平面夹角为φ，将F向Oxy平面投影，得

（2）设与y轴夹角为γ，由合力矩定义可得