考虑摩擦的构件平衡问题

在前面研究物体平衡时，将物体接触面间的摩擦忽略不计，而视为绝对光滑的理想状态。实际上完全光滑的接触面并不存在。工程中，一些构件的接触面比较光滑且具有良好的润滑条件，摩擦很小，不起主要作用时，为使问题简化可不计摩擦。但在许多工程问题中，摩擦对构件的运动和平衡起着主要作用，因此必须考虑。例如，车靠摩擦制动、带轮靠摩擦传递动力等，都是摩擦有利的一面。摩擦也有其有害的一面，它会带来阻力、消耗能量、加剧磨损、缩短机器寿命等。因此，研究摩擦是为了掌握摩擦的一般规律，利用其有利的一面，而限制或消除其有害的一面。

按物体接触面间发生的相对运动形式，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦；按两物体接触面是否存在相对运动，可分为静摩擦和动摩擦；按接触面间是否有润滑，可分为干摩擦和液体摩擦。本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。

1.滑动摩擦的概念

两相互接触的物体发生相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触处就存在阻碍物体相对滑动的力，这种力称为滑动摩擦力。滑动摩擦力作用于接触处的公切面上，并与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反。滑动摩擦根据两接触面间的相对运动是否存在，可分为静滑动摩擦和动滑动摩擦两类。

1）静滑动摩擦

物体接触面间产生滑动摩擦的规律，可通过图1-4-13所示实验说明。

图1-4-13　静滑动摩擦

在台面上放一小盘A，盘内盛砝码，盘与砝码共重G1，盘连一绳绕过定滑轮B，绳另一端悬挂一小盘C，则绳对盘的拉力FT等于小盘C与盘内砝码的总重G2。当拉力FT逐渐增大，摩擦力Ff也随之增大，此时，摩擦力具有约束反力的性质，可见摩擦力的值不固定，一直保持与拉力FT平衡。当Ff随FT增加到某一临界最大值Ffmax（称为临界摩擦力）时，就不会再增加，此时，盘A处于将要滑动而又未滑动的临界状态，若FT再增加一点，物体将开始滑动。此时，静摩擦力达到最大值。由此可知，静摩擦力的变化范围为

库仑通过大量实验证明，临界摩擦力的大小与物体接触面间的正压力成正比，即

式中　FN——接触面间的正压力；

　　　μs——静摩擦因数，其大小与两物体接触面间的材料及表面情况（表面粗糙度、干湿度、温度等）有关，常用材料的静摩擦因数μs可从工程手册中查得。式（1-4-8）称为库仑定律或静摩擦定律。

库仑定律指明了利用和减小摩擦的途径，即可以从影响摩擦力的摩擦因数与正压力入手。例如，一般车辆以后轮为驱动轮，故设计时应使重心靠近后轮，以增加后轮的正压力。在轮胎表面压出各种花纹，以增大摩擦因数。

综上所述，静摩擦力也是一种被动且未知的约束力。其基本性质用以下三要素表示。

（1）大小。在平衡状态时，0≤Ff≤Ffmax，由平衡条件确定；在临界状态下Ff＝Ffmax＝μsFN。

（2）方向。与物体间相对滑动趋势的方向相反，并沿接触面作用点的切向。

（3）作用点。在接触处摩擦力的合力作用点上。

2）动滑动摩擦

继续上述试验，当力FT超过Ffmax时，物体开始滑动，此时物体所受摩擦力为动摩擦力

大量实验表明，的大小与接触面间的正压力成正比，即

式中　μ——动摩擦系数，是与材料和表面情况有关的常数，一般μ的值小于μs的值。

动摩擦力与静摩擦力比较，有两点不同：①动摩擦力一般小于静摩擦力，说明维持一个物体的运动要比使它由静止进入运动要容易。②静摩擦力的大小要由与主动力有关的平衡条件确定；而动摩擦力的大小则与主动力的大小无关，只要相对运动存在，它就是一个常值。

2.摩擦角与自锁现象

若物体处于静摩擦状态，物体在接触面受到约束力FN和Ff的共同反作用，若将这两个力合成，其合力FR就代表了物体接触面对物体的全部约束作用，FR称为全约束力。

全约束力FR与接触面法线的夹角为φ，如图1-4-14（a）所示。显然，夹角φ随静摩擦力Ff的变化而变化，当静摩擦力达到最大值时，夹角φ也达到最大值φm，φm称为摩擦角。由图1-4-14（b）可知

图1-4-14　摩擦角

式（1-4-10）表明，摩擦角的正切等于静摩擦因数，它也是表示材料与接触面摩擦性质的物理量。摩擦角表示全约束力能够生成的范围，若物体与支撑面的摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥。全约束力的作用线不可能超出摩擦锥，如图1-4-14（c）所示。若外力F作用在摩擦锥范围内，则约束面必产生一个等值、反向、共线的全约束力FR与之平衡，且无论外力F的值增加到多大，都不会使物体滑动，这种现象称为自锁。由图1-4-14（c）可知，自锁条件为

3.考虑摩擦时物体的平衡问题

求解考虑摩擦时物体的平衡问题，与忽略摩擦时物体的平衡基本相同。不同的是在画受力图时要画出摩擦力，要注意摩擦力的方向与滑动趋势的方向相反。

求解时除列出平衡方程外，还需要列出补充方程，在平衡状态：0≤Ff≤Ffmax，摩擦力是一个范围值。在临界状态：Ff＝Ffmax＝μsFN，摩擦力是一个极限值。

例1-4-8　制动装置如图1-4-15（a）所示，已知制动轮与制动块间的摩擦因数为μs，鼓轮上的转矩为M，几何尺寸如图1-4-15（a）所示。试求制动所需要的最小力F。

图1-4-15　例1-4-8图

解：（1）分别取制动臂AB和鼓轮O为研究对象，画受力图[见图1-4-15（b）、（c）]。

（2）因为欲求力F的最小值，故摩擦处于临界状态。

对鼓轮[见图1-4-15（c）]，列平衡方程为

列补充方程

得

对制动臂[见图1-4-15（b）]，列平衡方程

得

4.滚动摩擦简介

搬运重物时，若在重物下面垫上辊轴，比直接放在地面上推动要省力得多，如图1-4-16所示。这说明用滚动代替滑动所受到的阻力要小得多。车辆用车轮、用滚动轴承代替滑动轴承，就是这个道理。

图1-4-16　滚动摩擦

（a）车轮；（b）、（c）用滚动轴承代替滑动轴承

滚动比滑动省力，可用图1-4-17所示的车轮在地面上滚动来说明。将一重为G的车轮放在地面上，在轮心施加一较小的水平拉力F，此时车轮与地面接触处就会产生一摩擦阻力Ff，以阻止车轮滑动。如图1-4-17（a）所示，主动力F与摩擦阻力Ff组成一力偶，其力偶矩为FR，不论它有多小，都将驱使车轮转动。实际情况是，车轮由于重力G的作用，车轮和地面都会产生变形。变形后，车轮与地面接触面上的约束力分布情况如图1-4-17（b）所示。将这些约束力向A点简化，可得到法向约束力FN、切向约束力Ff及滚动摩擦力偶矩Mδ，如图1-4-17（c）所示。此时，力偶矩Mδ＝FNe，起阻止车轮滚动的作用，其转向与车轮的滚动趋势方向相反，称为滚动摩擦力偶矩。

当力F逐渐增大使车轮达到开始滚动而尚未滚动的临界状态，此时，法向约束力FN的偏移值e也相应地逐渐增大到最大值δ，滚动摩擦力偶矩Mδ随主动力矩FR的增大而增大，当滚动摩擦力偶矩达到最大值Mδmax时，再增大力F，车轮就开始滚动了。由此可知，滚动摩擦力偶矩也是介于零与最大值之间，即0≤Mδ≤Mδmax。(www.xing528.com)

图1-4-17　车轮的滚动摩擦分析

实验表明，最大滚动摩擦力偶矩与法向约束力成正比，即

式中　δ——有长度单位的系数，称为滚动摩擦因数。δ为实际接触面法向约束力与理论接触点A的最大偏矩e[见图1-4-17（d）]，与相互接触物体表面的材料性质和表面状况有关，材料硬，接触表面变形就小，δ值也小。如车胎打足气后使车胎变形减小，便可以减小滚动摩擦阻力。

分析图1-4-17所示车轮的滑动条件为F＞Ff，即F＞μsG。车轮的滚动条件为Fr＞Mδmax即F＞（δ/r）G，由于（δ/r）＜μs，所以使车轮滚动比滑动省力。

当物体在支撑面上做纯滚动时，在接触点处也一定产生滑动摩擦力Ff，但它并未达到最大值，也不是动摩擦力。力Ff在静力学问题中依据平衡条件求解，在动力学问题中要由动力学方程求解。

【任务实施】

如图1-4-18所示，重为W的物块放在倾角为α的斜面上，物块与斜面间的摩擦因数为μs，且tanα＞μs。试求使物块在斜面上保持静止时的水平力F的取值范围。

解：要使物块在斜面上静止，力F不能太小，也不能太大。若力F太小，物块将沿斜面向下滑动；若力F太大，物块将沿斜面向上滑动。因此，力F的值必在一范围内。

图1-4-18　任务实施图

（1）确定物块不致沿斜面下滑所需力F的最小值Fmin。取物块为研究对象，设物块处于将要下滑的临界状态，静摩擦力已达到最大值，方向沿斜面向上，受力如图1-4-18（a）所示，沿斜面方向建立坐标系xOy，列平衡方程和补充方程为

联立以上方程解得

（2）确定物块不致沿斜面上滑所需力F的最大值Fmax。取物块为研究对象，设物块处于将要上滑的临界状态，静摩擦力已达到最大值，方向沿斜面向下，受力如图1-4-18（b）所示，沿斜面方向建立坐标系xOy，列平衡方程和补充方程为

联立以上方程解得

因此，要使物块在斜面上保持静止，水平力F的取值范围是

【任务小结】

本任务的主要内容是平面任意力系的简化及平衡问题以及考虑摩擦时如何处理有关平衡问题。

1.平面任意力系的简化

平面任意力系向平面任意点简化，得到一主矢F′R和一主矩M0。

主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和再开方，作用在简化中心上。主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。

2.平面任意力系的平衡方程

（1）平衡条件：平面任意力系平衡的充要条件为＝0，M0＝0。

（2）平衡方程：

①一矩式方程：

应用一矩式方程时，为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。

②二矩式方程：

应用二矩式方程时，所选坐标轴x不能与矩心A、B的连线垂直。

③三矩式方程：

应用三矩式方程时，所选矩心A、B、C三点不能共线。

3.静定与静不定问题的概念

（1）静定问题：力系中未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数，全部未知数可由独立平衡方程解出。

（2）静不定问题：力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出。

4.物体系统的平衡问题

外力和内力系统外物体对系统的作用力称为物系外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。

物系平衡：物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为研究对象，也可以选单个构件或部分构件为研究对象。

5.滑动摩擦的概念

（1）静滑动摩擦力：物体接触面间具有相对滑动趋势时，接触面存在有阻碍滑动趋势的力。

（2）动滑动摩擦力：物体接触面间产生相对滑动时，接触面间就存在有阻碍相对滑动的力。

6.摩擦角与自锁现象

摩擦角φm：最大全反力FRm与法线之间的夹角称为摩擦角。

摩擦角的正切值等于摩擦因数，即

自锁现象：全反力作用线落在摩擦锥内的现象称为自锁。自锁的条件为：全反力与法线的夹角小于或等于摩擦角，即

【实践训练】