1.4.3　物体系统的平衡问题

1.静定与静不定问题的概念

由前述可知，若构件在平面任意力系作用下平衡，最多可列出三个独立的方程，求解三个未知量。平面汇交力系和平面平行力系只有两个独立的平衡方程，平面力偶系只有一个独立的方程。

当力系中未知量的数目少于或等于独立平衡方程的数目时，则全部未知量可由独立平衡方程求出，这类问题称为静定问题。如图1-4-9（a）所示，梁AB受力为平面任意力系，可列出三个独立的平衡方程，共有三个未知力，则为静定问题。否则，当力系中未知量的数目多于独立平衡方程的数目时，则全部未知量不能完全由独立平衡方程求出，这类问题称为静不定问题。如图1-4-9（b）所示，梁AB受力为平面任意力系，可列出三个独立的平衡方程，但有四个未知力，则为静不定问题。

图1-4-9　静定与静不定结构

（a）静定结构；（b）静不定结构

静不定结构在工程实际中应用较为广泛，因为它可以提高结构的刚度和牢固性，增强结构的承载能力。

静不定问题的求解，要利用材料力学或结构力学部分的内容，找出物体受力与变形之间的关系，列出补充方程，静不定问题即可解决。

2.物体系统的平衡问题

工程机械或结构一般是由若干构件通过约束所组成的系统，称为物体系统，简称物系。求解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统以外物体对系统的作用力，同时还要分析系统内部各构件之间的作用力。系统以外物体对系统的作用力，称为物系外力；系统内部各构件之间的作用力，称为物系内力。物系外力和物系内力是两个相对的概念，当研究整个物系平衡时，由于内力总是成对出现、相互抵消，因此可不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡时，系统中其他构件对它们的作用力就成为外力，必须考虑。

若整个物系平衡时，组成物系的各个构件也处于平衡。因此在求解时，既可以选整个系统为研究对象，也可以选单个构件或部分构件为研究对象。对所选的研究对象，一般平面任意力系可列出3个独立的方程。分别取力系中n个构件为研究对象，最多可列出3n个独立的方程，解出3n个未知量。若所选的研究对象中有平面汇交力系（或平面平行力系、平面力偶系）时，独立平衡方程的数目将相应地减少。现举例说明物系平衡问题的解法。

例1-4-5　图1-4-10（a）所示为一静定组合梁，由杆AB和杆BC用中间铰B连接，A端为活动铰支座约束，C端为固定端约束。已知梁上作用均布载荷q＝15N/m，力偶M＝20kN·m，求A、C端的约束力和B铰所受的力。

图1-4-10　例1-4-5图

解：（1）取杆AB为研究对象，画受力图[见图1-4-10（b）]。AB杆上作用均布载荷q，A为活动铰链，只有竖直方向的约束力FA，故B铰也只有竖直方向的约束力FBy。AB杆受力为平面平行力系的问题，建立xAy直角坐标系，列平衡方程

（2）取杆BC为研究对象，画受力图[见图1-4-10（c）]。BC杆上有已知力偶M，B铰链受力与AB杆上B铰链受力FBy是作用与反作用的关系，C端为固定端约束，有约束力FCy、FCx和力偶MC。BC杆受力为平面任意力系的问题，建立xBy坐标系，列平衡方程

负号说明C端约束力偶矩的转向与图示方向相反。(www.xing528.com)

例1-4-6　支架如图1-4-11所示，已知W＝1.8kN，忽略各构件的重力。试求A、C固定铰链的约束力。

图1-4-11　例1-4-6图

解：取系统整体为研究对象，系统上作用的力有重力G、绳索拉力FT（FT＝G）、铰链C的约束力FC（杆BC为二力杆，故FC作用线沿BC方向）和铰链A的约束力FAx、FAy，这些力构成一个平面任意力系，如图1-4-11（b）所示。建立xAy坐标系，列平衡方程

例1-4-7　图1-4-12（a）所示为一偏心夹紧机构。图示位置压杆AC处于水平位置，已知偏心轮所受载荷F，α＝30°，a＝120mm，b＝60mm，e＝15mm，l＝100mm。不计接触面间的摩擦，求工件E所受的夹紧力。

解：该题若以机构整体为研究对象，则不能求出任何一个未知量。所以，必须将机构拆开，分别对各构件进行受力分析。

（1）以偏心轮为研究对象，作用于偏心轮上的力有F、FNC、FDx、FDy，受力如图1-4-12（b）所示。列平衡方程

图1-4-12　例1-4-7图

得

由于不需要求D处的约束力，故不必列出投影方程。

（2）以压杆AC为研究对象，作用于杆上的力有、FBx、FBy和。受力如图1-4-12（c）所示。列平衡方程

得

工件E所受的夹紧力FNA与等值、反向，是作用力与反作用力的关系。