控制系统根轨迹概述,控制系统开环传递函数

当控制系统开环传递函数的任何参数变化时，对应闭环系统的所有极点都会随之变化，闭环极点在复平面[S]内所描绘出的轨迹称为根轨迹。具有工程实用意义的根轨迹指的是当系统特定参数增益K从0→∞变化时，其闭环特征根（闭环极点）在复平面[S]上所描绘的轨迹，这也是本节所要讨论的根轨迹。设闭环控制系统框图如图3-5-1所示。闭环传递函数为

图3-5-1 闭环控制系统框图

将开环传递函数写成零极点增益形式

式中，z_j（j=1，2，…，m），p_i（i=1，2，…，n）表示系统开环零点与极点；K为增益，有作者将式（3-5-2）中的K称为“根轨迹增益”^[7]。作为区别，将时间常数形式开环传递函数

中的增益K₁称为“开环增益”。显然，对于一个确定的系统，“根轨迹增益K”与“开环增益K₁”具有确定的倍率。若无特别说明，下面讨论所指的增益均指“根轨迹增益K”。顺便指出，在MATLAB中，模型转换命令tf2zp，ss2zp所获得的增益皆为式（3-5-2）中的K。

由式（3-5-1），闭环特征方程为

1+G（s）H（s）=0 （3-5-4）

代入式（3-5-2）得

写成多项式形式有

式（3-5-5）或式（3-5-6）称为根轨迹方程。根轨迹方程式是一个复数方程，由幅值方程和幅角方程组成。根轨迹的幅值方程或称幅值条件为(www.xing528.com)

或写成

根轨迹的幅角方程或称幅角条件为

式中，表示m个开环零点到根轨迹上任意一点s的矢量与正实轴之间沿逆时针方向所形成的幅角之和；表示n个开环极点到根轨迹上任意一点s的矢量与正实轴之间沿逆时针方向所形成的幅角之和。

由于幅角条件与K无关，所有满足幅角条件的s就构成了系统的根轨迹。

由根轨迹的幅值条件和幅角条件容易得到根轨迹所遵循的一般规律：

1）n阶系统有n个特征根，共有n条根轨迹。每条根轨迹描绘一个闭环极点随增益K变化的情况。

2）根轨迹对称于实轴。因为全部闭环极点或为实数，或为成对出现的共轭复数，因而，闭环极点随增益变化的轨迹也对称于实轴。

3）根轨迹起始于开环极点，其中的m条分支终止于开环零点z_j，其余n-m条分支终止于无穷远零点（即复平面无穷远处）。此点可令式（3-5-8）右边分别等于0，趋于无穷得到证明。因为根轨迹的起点对应增益K=0，公式（3-5-8）中k=0，解得s=p_i（i=1，2，…，n），说明根轨迹起始于n个开环极点。又因为根轨迹的终点对应增益k=∞，公式（3-5-8）中k=∞，解得s=z_j（j=1，2，…，m），说明其中的m条根轨迹终止于m个开环零点，其余（n-m）条终止于p_i=∞（i=m+1，m+2，…，n）。

4）根轨迹的分离点和会合点必须满足两个条件，既位于根轨迹上又是特征方程的重根。最常见的情况是分离点和会合点都在实轴上，即闭环特征方程具有重实根。

5）根轨迹与虚轴的交点是系统的临界稳定点。可以通过令特征方程中的s=jω，再令其实部和虚部分别等于0，解出临界点的ω和增益K。

上述根轨迹的各条规律可以通过仿真清楚地显示出来。