一阶控制系统的时域响应,单位脉冲响应

1.单位脉冲响应

对式（2-2-1）进行拉普拉斯逆变换有

对（2-2-2）式进行拉普拉斯逆变换有

对比式（2-2-3）和式（2-2-4）可得单位脉冲响应的几个特殊值。

初值：y（0）=k/T，与T成反比，与k成正比。当T一定，k增大，系统增益变大，y（0）上升，反之亦反。

时间常数：T/l，与l成反比，将随着l的增大而减小。当l=1时，时间常数为T。

终值：y（∞）=0。实际上，可由终值定理y（∞）=l_si→m₀s·G（s）判定，一切平衡态为0的实际物理系统的脉冲响应终值均为0。

2.单位阶跃响应

将式（2-2-1）和式（2-2-2）乘以1/s后再进行拉普拉斯逆变换

可求出一阶系统单位阶跃响应的特殊值。

初值：y（0）=0。

终值：y（∞）=k/l。当k=l时，y（∞）=1。

稳态误差：e_s（∞）=1-k/l。当k=l时，稳态误差为0。实际上k=l表示图2-2-1b中的l₁=0，其开环传递函数是积分环节，对于单位阶跃输入而言构成无差系统。而k≠l（l₁≠0），对应其开环传递函数是惯性（零型）系统，对于单位阶跃输入而言构成有差系统。

时间常数T/l由系统结构和参数决定，与输入信号无关。

3.单位恒速响应

将式（2-2-2）乘以1/s²后再进行拉普拉斯逆变换

可求得一阶系统单位恒速响应的特殊值。(www.xing528.com)

初值：y（0）=0。

误差函数：，随t的增加而变化。当t足够大，使得指数函数exp（-lt/T）→0时有

式（2-2-8）是时间的线性函数，误差的符号由足够大项的系数符号决定。当k＞l时，e_v（t）＜0；当k＜l时，e_v（t）＞0。

如果系统参数k=l，稳态误差e_v（∞）=T/l。显然，对于通常所讨论的标准一阶系统式（2-2-1），k=l=1，e_v（∞）=T。

如果对一阶系统式（2-2-2）输入具有一定初值的恒速信号u（t）=u₀+k₁t，则输出

同理，当t足够大时，这种情况下的误差函数e_v（t）=u（t）-y（t）为

误差符号由的系数符号决定，不仅与系统的结构参数有关，还与输入信号的斜率k₁有关。当k=l，系统的稳态误差为（k₁T/l）。

4.单位恒加速响应

将式（2-2-2）乘以1/s³后再进行拉普拉斯逆变换有

可求出一阶系统单位恒加速响应的特殊值。

初值：y（0）=0。

误差函数：，随t的增加而变化。当t足够大，使得指数函数exp（-lt/T）→0时

是时间的二次函数。当k＞l时，e_a（t）是开口向下的抛物线，输入最终将小于输出；当k＜l时，e_a（t）是开口向上的抛物线，输入将大于输出；当k=l时，式（2-2-12）退化成时间的线性函数。在k≠l且t足够大时，误差符号由二次项的系数决定。

令式（2-2-12）等于零，可以解出误差改变符号的时间为

式（2-2-12）在k≠l且k＜2l时有实数解。注意，上述讨论均在t足够大的条件下进行。对于t足够大的条件，如果要求，可选取。