数值积分方法及MATLAB计算工具

不同于数值微分的微观性质，数值积分描述了一个函数的整体或宏观性质。

求解定积分的数值方法有很多，比如简单的梯形法、辛普森（Simpson）法、牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）法等。它们的基本思路都是将整个积分区间分成n个子区间，将积分问题转换为求和问题。

MATLAB为用户提供了求解积分的函数，其中包括一元函数的自适应数值积分、一元函数的矢量积分、二重积分和三重积分。具体见表4.5。

表4.5　积分函数

1.trapz函数

函数trapz通过计算若干个梯形面积的和来计算某函数的近似积分，其调用格式如下：

①Z＝trapz（Y）：通过梯形法（采用单位间距）计算Y的近似积分。

Y的大小确定求积分所沿用的维度：如果Y为向量，则trapz（Y）是Y的近似积分；如果Y为矩阵，则trapz（Y）对每列求积分并返回积分值的行向量；如果Y为多维数组，则trapz（Y）对其大小不等于1的第一个维度求积分，该维度的大小变为1，而其他维度的大小保持不变。

②Z＝trapz（X，Y）：根据X指定的坐标或标量间距对Y进行积分。

如果X是坐标向量，则length（X）必须等于Y的大小；如果X是标量间距，则trapz（X，Y）等于X∗trapz（Y）。

③Z＝trapz（X，Y，dim）：通过梯形法计算Y跨维积分，维度由dim指定。

【例4.10】　使用trapz函数计算定积分。

在MATLAB的命令行窗口输入下列指令，并得出结果。

2.一元函数的积分

在MATLAB中，用户可用quad和quad1两个函数来实现对一元函数的积分求解。函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积的，函数quad采用的是低阶的自适应递归辛普森法，quad8函数采用的则是高阶的自适应递归辛普森法，并且quad8函数比quad函数更精确。quad1函数采用高阶自适应Lobatto法，该函数是quad8函数的替代。

quad函数的调用格式如下：

q＝quad（fun，a，b）：尝试使用递归自适应辛普森积分法求取函数fun从a到b的近似积分，误差小于10-6。其中，fun是被积函数表达式字符串或M函数文件名。(www.xing528.com)

q＝quad（fun，a，b，tol）：tol可指定大于10-6的允许误差。该命令的运行速度更快，但是精度降低。

q＝quad（fun，a，b，tol，trace）：在递归期间显示［fcnt a b-a Q］的值。其中，fcnt为计算函数数值的次数；a为积分区间的左边界；b-a为区间长度；Q为区间内的积分值。trace＝1，迭代信息在运算中显示；trace＝0，不显示迭代信息，默认值为0。

［q，fcnt］＝quad（fun，a，b，…）：输出函数值的同时返回函数的计算次数。

【例4.11】　使用quad函数计算定积分。

在MATLAB命令行窗口中输入以下命令，并得出结果。

也可以利用2.3.3小节中的int函数来求解和，其调用格式分别为：

【例4.12】　使用int函数计算定积分。

在MATLAB命令行窗口输入以下命令，并得出结果。

3.二重积分

在MATLAB中，二重积分由dblquad函数来实现，其调用格式如下：

q＝dblquad（fun，xmin，xamx，ymin，ymax）：dblquad函数通过调用quad函数来计算fun（x，y）在矩形区域xmin≤x≤xmax、ymin≤y≤ymax的双重积分。其中，fun是被积函数表达式字符串或M函数文件名。

q＝dblquad（fun，xmin，xamx，ymin，ymax，tol）：通过tol指定积分结果的精度。

q＝dblquad（fun，xmin，xamx，ymin，ymax，tol，trace）：trace＝1，迭代信息在运算中显示；trace＝0，不显示迭代信息，默认值为0。

【例4.13】　计算二重积分。

在MATLAB的命令行窗口中输入以下命令，并得出结果。