数制和码制：理解与应用

1.数制

数字电路中经常要遇到计数的问题，而一位数不够就要用多位数表示。多位数中的每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。在日常生活中，人们习惯用十进制，有时也使用十二进制、六十进制，而在数字电路中多采用二进制，也常采用八进制和十六进。下面将对这几种进位制逐一加以介绍。

（1）十进制。

大家都熟悉，十进制是用十个不同的数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示数的，所以计数的基数是10。超过9的数必须用多位数表示，其中低位数和相邻的高位数之间的关系是“逢十进一”，故称为十进制。例如：

(452.59)10=4×102+5×101+2×100+5×10-1+9×10-2

等号右边的表示形式，称为十进制数的多项式表示法，也称按权展开式。同一数字符号所处的位置不同，所代表的数值不同，即权值不同。例如4处在百位，代表400，既4×100，也就是说4的权值是100。容易看出，上式各位的权值分别为102、101、100、10-1、10-2。

任何一个十进制数例如452.59，可以书写成452.59、（452.59）10或452.59D（D表示十进制）的形式。

（2）二进制。

在明白了十进制组成的基础上，对二进制就不难理解了。二进制的基数为2，即它所使用的数字符号只有两个：0和1，它的进位规则是“逢二进一”。

例如：二进制101.01可写成

(101.01)2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

代表十进制数5.25。

任何一个二进制数例如101.01，可以书写成（101.01）2或101.01B（B表示二进制）的形式。

二进制的优点是它只有两个数字符号，因比它们可以用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示，如晶体管的饱和与截止、继电器的闭合与断开、灯亮与灭等。只要规定其中的一种状态为1，另一种状态就表示为0。多个元件的不同状态组合就可以表示一个数，因此数的存储、传送可以简单可靠地进行。在数字系统和计算机内部，数据的表示与存储都是以这种形式进行的。很显然，十进制的数字符号需要具有十个稳定状态的元件来表示，这给技术上带来许多困难，而且也不经济。

二进制的第二个优点是运算规律简单，这必然导致其相应运算控制电路的简单化。当然二进制也有缺点。用二进制表示一个数时，它的位数过多。例如十进制数51，表示成二进制数为110011，使用起来不方便也不习惯。为了便于读写，通常有两种解决办法：一种是原始数据还用十进制表示，在送入机器时，将原始数据转换成数字系统能接受的二进制数，而在运算处理结束后，再将二进制数转换成十进制数，表示最终结果；另一种办法是使用八进制或十六进制。

（3）八进制。

八进制的基数为8，即它所使用的数字符号只有八个，它们是0、1、2、3、4、5、6、7，它的进位规则是“逢八进一”。

例如：八进制数（52）8=5×81+1×80，代表十进制数41。

任何一个八进制数例如52，可以书写成（52）8或52Q（Q表示八进制）的形式。

（4）十六进制。

十六进制的基数为16，即它所使用的数字符号有十六个，它们是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15），它的进位规则是“逢十六进一”。(www.xing528.com)

例如：十六进制数

（42）16=4×161+2×160

代表十进制数66。

任何一个十六进制数例如42，可以书写成（42）16或42H（H表示八进制）的形式。

表9.1给出了一组几种进位制间的对应关系。

表9.1　几种进位制间的对应关系

（5）不同数制之间的转换。

二进制、八进制、十六进制数转换成十进制数。由上述二进制转换成十进制的方法可知，八进制、十六进制数以此类推，只需要将二进制、八进制、十六进制数按各位权展开，并把各位的展开值相加，即得相应的十进制数。

十进制数转换成二进制。将十进制数整数转换成二进制数可以采用除2取余法。其方法是将十进制整数连续除以2，求得各次的余数，直到商为0为止。然后将先得到余数列在低位、后得到的余数列在高位，即得到相应的二进制数。

例9.1　将十进制数（40）10转换成二进制数。

解：

所以（40）10=（101000）2。

二进制转换成十六进制数。二进制转换成十六进制数的方法：将二进制数从最低位开始，每四位一组，将每组都转换成为一位的十六进制数。

例9.2　将二进制数（11000101010）2转换成十六进制数。

解：

所以（11000101010）2=（62A）16。

2.码制

在数字系统中，二进制数码不仅可表示数值的大小，而且常用于表示特定的信息。将若干个二进制数码0和1按一定的规则排列起来表示某种特定含义的代码，称为二进制代码。将十进制数0～9十个数字用二进制数表示的代码，称为二-十进制码，又称为BCD码。常用的二-十进制代码为8421BCD码。这种代码的每一位的权值是固定不变的，为恒权码。它取了4位自然二进制数的前10种组合，即0000（0）～1001（9），从高位到低位的权值分别是8、4、2、1，去掉后6种组合，所以称为8421BCD码。如（0011）8421BCD=（3）10，（59）10=（0101　1001）8421BCD。表9.2给出了十进制数与8421BCD码的对应关系。

表9.2　十进制数与8421BCD码的对应关系