曲面标架与微分形式

现代微分几何学常采用活动标架方法研究曲面特征。活动标架是指依附于图形的正交单位坐标系。设有曲面r=r（u，v），其中u、v为曲面参数，在曲面上建立活动标架{r（u，v），e₁，e₂，e₃}，标架的原点p位于曲面上，标架轴e₁、e₂处于曲面的切平面内，e₃为曲面的单位法矢。活动标架的无穷小平移和无穷小回转运动与曲面的形状特征密切相关，从而提供了一种运动学和几何学联系起来的研究方法。

曲面矢径r=r（u，v）的微分表达式可写为

dr=r_udu+r_vdv （2-16）

式中，r_u、r_v分别表示矢径r对参数u、v的偏导矢。

由于矢径微分dr处于切平面{e₁，e₂}之中，故可将其表达式进一步写为

dr=e₁σ₁+e₂σ₂ （2-17）

式中，σ₁，σ₂为dr在e₁、e₂方向上的坐标。

令式（2-16）和式（2-17）的右边相等，并分别用e₁、e₂与之作纯积，可求得

式（2-17）、式（2-18）即为标架的无穷小平移表达式，σ₁、σ₂描述了标架原点沿e₁、e₂方向的无穷小位移。

由式（2-17）尚可求得曲面沿任意方向的弧微分为(www.xing528.com)

现在求标架的微分de_i（i=1，2，3）。由于e_i为单位矢量，必有de_i·e_i=0，因此标架的微分可写为

式中，ω₁、ω₂、ω₃分别为曲面瞬时回转角速度矢量ω沿e₁，e₂，e₃轴的分量，即

ω=e₁ω₁+e₂ω₂+e₃ω₃ （2-21）

ω₁、ω₂、ω₃可以表示为σ₁、σ₂的线性组合式，即

式中，k_n1、k_n2分别为曲面沿e₁、e₂方向的法曲率；τ_g1为曲面沿e₁方向的测地挠率；k_g1、k_g2分别为曲面沿e₁、e₂方向的测地曲率。

上面的五个微分形式σ₁、σ₂、ω₁、ω₂、ω₃构成了曲面的不变式，其中σ₁、σ₂决定了曲面的尺度特征；ω₁、ω₂、ω₃决定了曲面的形状特征。

在标架方法下，曲面的法曲率可表示为

将式（2-17）、式（2-19）、式（2-20）、式（2-22）代入式（2-23），可得

式中，θ为法曲率所在方向同e₁的夹角，且有