数学方程的表示方法

采用列表、图示形式处理实验数据的方法，反映了自变量与变量间的对应关系，为工程应用提供了一定方便。但图示法由离散点绘制曲线时还存在一定随意性，而列表法尚不能连续表达其对应关系，若用于计算机还会带来更多的不便。而将实验数据结果表示为数学方程或经验公式的形式，显然可以避免上述不便，更易用于理论分析和研究，也便于积分和求导。下面介绍实验数据数学方程表示法。

将实验数据结果表示一方程形式的处理方法，首先应针对数据相互关系的特点选择一种适宜函数的形式，然后用图解或数值方法确定函数式中的各种常数，该式是否能准确地反映实验数据存在的关系，最后还应通过检验加以确认，所得的函数表达式才能使用。

一般来说，实验数据处理用方程表示，有两种情况，一种是对研究问题有深入的了解，可写出准确函数的关系，具体方程中的常数系数是通过实验确定的。另一种是对实验数据的函数形式未知，为了用方程表示，通常将实验数据绘成图形，参考一些已知数学函数的图形，选择一种适宜的函数。选择的原则是，既要求形式简单，所含常数较少，同时也希望能准确地表达实验数据之间的关系。这两者常常是相互矛盾的，在保证必要准确度的前提下，尽可能选择简单的线性关系。以下是几种典型函数形式及其图形：

①线性函数。

②幂函数。

③指数函数。

④双曲线函数。

⑤其他函数。

⑥含三参数的函数。

函数形式多种多样，在此不一一列举。从以上列举函数形式可见，只要经过适当转换，均可化为线性关系，使数据处理工作得到简化。例如，流体在圆形直管内作强制湍流的实验研究，其传热过程的Nu数与Re及Pr关系，可选择幂函数形式：

Nu=BRemPrn

然后通过大量的实验数据，确定方程式中各种常数：B=0.023；m=0.8；n=0.3~0.4，于是得目前运用最广泛的对流传热公式：(www.xing528.com)

Nu=0.023Re0.8Prn

当待处理的实验数据所具有的函数形式选定之后，则可运用以下图解法以及一些数值方法来确定函数式中各常数。

图解方法仅限于具有线性关系或能通过转换成为线性关系的函数式常数的求解，是一种简单易行、容易掌握、准确度较好的方法。首先选定坐标系，将实验数据在图上标绘描线，在图中直线上选取适当点的数据，求解直线截距和斜率，进而确定线性方程的各常数。

在作图过程中会发现，由于实验不可避免地存在着误差，实验点总是有一定的分散性，通过一些离散的点，画出一条直线，任意性较大，会影响实验结果的准确性，如果坐标纸选择得比较小，分度又较粗，作图、读数同样带有误差，也会影响结果的准确。显然图解法也会受到上述误差的影响，未能完全克服列表及图示法的不足。为了减少上述误差，采用数值方法处理。选点法是一种比较简单的方法，在处理数据要求不高时可以采用。比较准确的方法是采用最小二乘法等数值方法处理实验数据。

选点法也称联立方程法，此法适用于实验数据要求精度很高的条件下。否则所得函数式将毫无意义。具体步骤是：

①选择适宜经验公式形式，即

y=f(x)

②建立待定常数方程组。若选定经验公式形式为：

y=a+bx

则从实验数据中选出两个实验点数据（x1，y1），（x2，y2）代入式中。

③联立求解以上方程，即可解得常数a，b。若选定公式有k个待定常数，显然，则应选取k点（xi，yi）i=1，2，…，k，代入原函数式获得方程组，求解方程组以确定各常数。由于在实验测试中其数据难免存在一定的随机误差。故选取的数据点不同，所得结果也必然存在较大差异，可见此法在实验数据精确度不高的情况下不可使用。实际上，对函数关系比较复杂，待定常数较多的情况下，即使实验数据比较精确，采用此法求解难度较大也不宜选用。