正弦交流电路负载的最大功率获得条件

电路如图3-44所示。图中，U_s为电源，Z_i=R_i+jX_i为电源的内阻抗，Z=R+jX为负载阻抗。由相量形式的欧姆定律可得负载电流为

则电流的有效值为

负载吸取的平均功率为

可以证明，负载获得最大功率的条件为

X=-X_i，R=R_i （3-69）

即 Z=Z_i （3-70）

当式（3-70）成立时，又称负载阻抗与电源阻抗匹配。此时，负载所获得的最大功率为

在阻抗匹配电路中，负载得到的最大功率仅是电源输出功率的一半，即阻抗匹配电路的传输效率仅为50%。所以，阻抗匹配电路只能用于一些小功率电路。电力系统首要考虑效率，而不是阻抗匹配。

图3-44 负载获得最大

功率的条件

【思考与练习】

1）电阻R=22Ω、电感L=0.6H的线圈与电容C=63.7μF串联后接到U=220V、f=50Hz的交流电源上。求：

①电路的阻抗、阻抗角、功率因数、电流；

②线圈电压、电容器电压；

③电路的有功功率和无功功率。

2）电路如图3-45所示。已知Z₁=20+j15Ω，Z₂=20-j10Ω，外加正弦电压的有效值为220V，求各负载和整个电路的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数。

图 3-45

3）某变压器容量为20kVA，向功率为20W的白炽灯供电，求：

①当cosφ=0.4时，该变压器可向多少盏白炽灯供电？

②当cosφ=1时，该变压器可向多少盏白炽灯供电？

4）220V电源向功率为20W的白炽灯供电，求：

①当cosφ=0.4时，白炽灯的电流为多少？

②当cosφ=1时，白炽灯的电流为多少？

5）一台额定功率为1kW的交流异步电动机，接到电压有效值为220V，频率f=50Hz的电源上，电路如图3-46所示。已知电动机的功率因数为0.8（感性），与电动机并联的电容为30μF，求负载电路的功率因数。

6）将额定电压为220V，额定功率为40W，功率因数为0.5的日光灯电路的功率因数提高到0.9，需并联多大电容？

7）图3-47为一日光灯装置等效电路，已知P=40W，U=220V，I=0.4A，f=50Hz，求：

①日光灯的功率因数；

②若要把功率因数提高到0.9，需补偿的无功功率Q_C及电容量C各为多少？

图 3-46

图 3-47

8）某单相变压器额定电压U_N=220V，额定容量S_N=50kVA。若负载功率因数cosφ₁=0.6，可以供给负载多少有功功率？若将负载功率因数提高到cosφ=0.9，所并联电容器的电容量是多少？此时变压器可提供多少有功功率？

【本章小结】

1.正弦交流电的基本概念

1）正弦交流电的三要素。正弦交流电流i=I_msin（ωt+φ）的三要素为最大值I_m、角频率ω（或频率f，或周期T，，ω=2πf）、初相位φ，分别表示其大小、变化快慢及t=0时初始时刻的大小。

2）交流电的有效值与最大值之间的关系为。

3）同频率正弦量的初相位角之差，称为相位差。两同频率的正弦量有同相、反相、超前和滞后的关系。

2.正弦交流电的表示方法

正弦交流电可用解析式、波形图和相量图（相量复数式）来表示。只有同频率的正弦交流电才能在同一相量图上分析。

3.单一参数正弦交流电路

表 3-1

4.RLC串联交流电路

电压电流相量关系为。

复阻抗为。

阻抗模为。

阻抗角为。

5.正弦交流电路的功率

有功功率为P=UIcosφ。

无功功率为Q=UIsinφ。

视在功率为。

6.功率因数的提高

提高电路的功率因数对提高设备利用率和节约电能有着重要意义。一般采用在感性负载两端并联电容器的方法来提高电路的功率因数。

【习题】

一、填空题

1.已知某交流电压，这个交流电压的最大值为____，有效值为____，周期为____，频率为____，角频率为____，初相位为____；t=0.01s时，瞬时值为____，相位为____。

2.图3-48为电压u、电流i的波形图，图中，u的初相角为____，i的初相角为____，u比i超前____。

3.已知3个同频率正弦交流电流i₁、i₂和i₃，它们的最大值分别为4A、3A和5A；i₁比i₂超前30°，i₂比i₃超前15°，i₁初相角为零。则i₁=____，i₂=____，i3=____。

4.某初相角为60°的工频正弦交流电流在t=T/2时的瞬时值i=0.8A，则此电流的有效值I=____，最大值I_m=。

图 3-48

5.一个工频正弦交流电动势的最大值为537V，初始值为268.5V，瞬时值解析式为____，有效值为____。

6.图3-49所示相量图，已知I_1m=10A，I_2m=16A，I_3m=12A，周期均为0.02s，则3个电流的解析式分别为i₁=____，i₂=____，i₃=____。

7.工频交流电流相量图如图3-50所示，已知I_1m=I_2m=I_3m，i₁初相角为150°，则i₁=____，i2=____，i3=____。

图 3-49

图 3-50

二、选择题

1.大小和方向随时间（ ）的电流称正弦交流电。

A.变化 B.不变化 C.周期性变化 D.按正弦规律变化

2.u=sin2ωt是（ ）电压。(www.xing528.com)

A.脉动 B.正弦交流 C.周期性变化 D.直流

3.电流i=sin3.14t的三要素是（ ）。

A.0，314rad/s，0° B.1A，3.14rad/s，1°

C.0，314rad/s，1° D.1A，3.14rad/s，0°

4.当t=0.01s时，电流i=10sin314t的值为（ ）A。

A.3.14 B.10 C.-10 D.0

5.单相正弦交流电压的最大值为311V，它的有效值是（ ）。

A.200V B.220V C.380V D.250V

6.在RLC串联电路中，总电压，电流，ω=1000rad/s，L=1H，则R，C分别为（ ）。

A.10Ω，1μF B.10Ω，1000μF C.0.1Ω，1000μF

三、计算题

1.已知，，求：

（1）u、i的最大值、有效值、角频率、频率、周期、初相位；

（2）u、i之间的相位差，说明其相位关系；

（3）画出u、i的波形图；

（4）写出u、i的相量式。

2.工频正弦交流电压和电流的波形图如图3-51所示，求：

（1）电压和电流的有效值、初相位及相位差，说明其相位关系；

（2）写出电压、电流的瞬时值表达式；

（3）画出电压、电流的相量图。

3.已知正弦量，。

（1）写出两电流的相量形式；

（2）画出两电流的波形图；

（3）求i₁+i₂和i₁-i₂。

4.角频率为ω的正弦量的相量图如图3-52所示，已知U=380V，I₁=10A，I₂=6A。

（1）写出各正弦量的瞬时值表达式u，i₁，i₂；

（2）写出各正弦量的及其相量表达式，，；

（3）画出各正弦量的波形图；

（4）说明各正弦量之间的相位关系。

图 3-51

图 3-52

5.某电路电源电压为u=14.1sin（ωt-30°）V，负载电阻R₁=1Ω。

（1）写出电阻的电流瞬时值表达式；

（2）如果用电流表测量该电路的电流，其读数应为多少？

（3）求电路消耗的功率；

（4）若电源频率增大一倍，问电流表读数和电路消耗的功率各为多少？

6.某线圈的电感为1H（电阻可忽略），接于220V电源上，设电压的初相位为30°。

（1）若为工频交流电，求电路中电流的有效值及无功功率，画出相量图；

（2）若电源频率增大一倍，其他条件不变，问电流的有效值和无功功率各为多少。

7.某电容C=8μF，接于220V电源上，设电压的初相位为30°。

（1）若为工频交流电，求电路中电流的有效值及无功功率，画出相量图；

（2）若电源频率增大一倍，其他条件不变，问电流的有效值和无功功率各为多少。

8.已知RL串联电路的电阻R=5Ω，电感L=0.05H，电流I=1A，角频率ω=200rad/s。

（1）求复阻抗和阻抗角；

（2）求各元件及总电压的相量表达式；

（3）求各元件及总电压的瞬时值表达式；

（4）画出相量图。

9.RLC串联电路，已知电阻R=10Ω，感抗X_L=j15Ω，容抗X_C=-j5Ω，电源电压。

（1）求电抗、复阻抗和阻抗角；

（2）求电流；

（3）求电压、、；

（4）画出相量图。

10.RLC串联电路，已知电阻R=22Ω，电感L=0.6H，电容C=63.7μF，交流电源U=220V、f=50Hz。

（1）求电路的感抗、容抗、电抗、复阻抗和阻抗角；

（2）求电路的电流；

（3）求各元件的电压；

（4）求电路的有功功率、无功功率和视在功率；

（5）求电路的功率因数，判断负载性质；

（6）画出相量图。

11.RLC并联电路，已知R=10Ω，X_L=20Ω，X_C=5Ω，电源电压，f=50Hz。

（1）求各支路电流及总电流；

（2）求电路的功率因数，问电路呈感性还是容性？

12.将额定电压为220V，额定功率为40W，功率因数为0.5的日光灯电路的功率因数提高到0.9，需并联多大电容？

13.电路如图3-53所示，已知电压表V₁、V₂、V₃的读数分别为6V、8V、14V，求电压表V的读数。

14.电路如图3-54所示，已知电流压表A₁、A₂、A₃的读数分别为3A、8A、4A，求电流表A的读数。

15.电路如图3-55所示，已知Z_L的实部和虚部皆可改变，求使Z_L获得最大功率的条件和最大功率值。

图 3-53

图 3-54

图 3-55

16.现有电压，额定视在功率S=10kVA的正弦交流电源，供电给有功功率P=8kW，功率因数cosφ=0.6的感性负载。试求解下列问题。

（1）该电源供出电流是否超过额定值？

（2）欲将电路的功率因数提高到0.95，应并联多大电容？

（3）并联电容后，电源供出的电流是多少？