RLC串联电路的复阻抗分析

1.RLC串联电路的电压电流关系

由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路，简称为RLC串联电路，如图3-27所示。

当电路接通交流电压u时，由于流过各元件上的电流为同一电流i，在电阻R两端产生的电压降U_R=IR，电流I与电压U_R相位相同；在电感L的两端产生电压降U_L=IX_L，电压U_L超前电流90°；在电容C两端产生电压降U_C=IX_C，电压U_C滞后电流90°。根据相量形式的基尔霍夫电压定律，有

图3-27 RLC串联电路

2.RLC串联电路的复阻抗及相量图

复阻抗Z是正弦交流电路中一个非常重要的概念，它决定了电压、电流有效值的大小和相位间的关系。

式（3-38）中，

Z=R+j（X_L-X_C） （3-39）

令

X=X_L-X_C （3-40）

则有

可见，在RLC串联电路中，电压相量与电流相量之比为一复数Z，它的实部为电路的电阻R，虚部为电路中的感抗X_L与电容X_C之差X，称为电路的电抗，Z称为电路的复阻抗，简称阻抗，单位为欧姆（Ω）。

将复阻抗写成指数形式，则有

式中

由以上分析可知，阻抗的模|Z|及辐角φ的大小只与电路参数及电源频率有关，与电压及电流无关。

图3-28 阻抗三角形

复阻抗的模|Z|、电阻R、电抗X构成一个直角三角形，如图3-28所示，称为阻抗三角形，辐角φ称为阻抗角。

图中， R=|Z|cosφ （3-45）

X=|Z|sinφ （3-46）

对电压回路方程变换，则有

即复阻抗的模|Z|等于电压的有效值与电流的有效值之比，辐角φ等于电压与电流的相位差角，也即

用阻抗形式表示的RLC串联电路图如图3-29所示。

图3-29 阻抗形式表示的RLC串联电路图

【例3-10】将电阻为6Ω，电感为25.5mH的线圈接在220V的工频电源上，求：

1）感抗和阻抗；

2）电流有效值。

解 1）感抗X_L=2πfL=2×3.14×50×25.5×10^-3≈8Ω；

阻抗。

2）电流有效值。

3.RLC串联电路的性质

根据电路参数可得出RLC串联电路的性质，三种情况的相量图如图3-30所示。(www.xing528.com)

1）当X_L>X_C时，φ>0，即电压超前电流，电路呈感性；

2）当X_L<X_C时，φ<0，即电压滞后电流，电路呈容性；

3）当X_L=X_C时，φ=0，即电压与电流同相位，电路呈阻性。

图3-30 RLC串联电路相量图

a）X_L>X_C b）X_L<X_C c）X_L=X_C

由上面分析可知：-90°<φ<90°，当电源频率不变时，改变电路参数L或C可以改变电路的性质；若电路参数不变，也可以改变电源频率达到改变电路的性质。

式中，U_X=|U_L-U_C|。 （3-51）

电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。

【例3-11】图3-31为移相电路，已知输入电压U_in=1V，f=1000Hz，C=0.01μF，欲使输出电压u_o较输入电压u_in的相位滞后60°，试求电路的电阻。

图3-31 例3-11图

a）移相电路 b）相量图

解

解法一：设电压电流为关联参考方向，由已知条件，得

根据欧姆定律，有

根据题意，输出电压u_o较输入电压u_in滞后60°，即，也即，解得，。

解法二：以电流为参考正弦量，画出相量图如图3-28b所示，由相量图，得tan60°=，所以。

由例3-11可以看出，在交流电路的计算中，有些电路可借助于相量图的分析方法，使解题过程变得简便。

【例3-12】RLC串联电路，已知R=30Ω，L=127mH，C=40μF，电源电压u=。求：

1）电流i；

2）各部分电压u_R、u_L、u_C；

3）相量图。

解 1）由已知条件，得，Z=R+j（X_L-X_C）=[30+j（40-80）]=（30-j40）Ω=50∠-53°Ω。

由于，所以有，可得。

2）先求各元件电压的相量

电阻两端的电压。

电感两端的电压。

电容两端的电压。

由此可求出各元件瞬时值为，，V。

3）相量图如图3-32所示。