传感器的数学模型、特性与技术指标分析

1.传感器数学模型

传感器检测被测量，应该按照规律输出有用信号，因此需要研究其输出和输入量之间的关系及特性，理论上用数学模型来表示输出和输入量之间的关系和特性。

传感器可以检测静态量和动态量，输入信号的不同，传感器表现出来的关系和特性也不尽相同。在这里，将传感器的数学模型分为动态和静态两种，本书只研究静态数学模型。

静态数学模型是指在静态信号作用下，传感器输出与输入量之间的一种函数关系。表示为

y＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ （1-1）

式中，x为输入量；y为输出量；a₀为零输入时的输出，也称零位误差；a₁为传感器的线性灵敏度，用K表示；a₂…a_n为非线性项系数。

根据传感器的数学模型一般把传感器分为三种：

1）理想传感器，静态数学模型表现为

y＝a₁x （1-2）

2）线性传感器，静态数学模型表现为

y＝a₀＋a₁x （1-3）

3）非线性传感器，静态数学模型表现为

y＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ（a₂…a_n中至少有一个不为零） （1-4）

2.传感器的特性与技术指标

传感器的静态特性是指对静态的输入信号，传感器的输出量与输入量之间的关系。因为输入量和输出量都和时间无关，它们之间的关系，即传感器的静态特性可用一个不含时间变量的代数方程，或以输入量作横坐标，把与其对应的输出量作纵坐标而画出的特性曲线来描述。表征传感器静态特性的主要参数有线性度、灵敏度、分辨率、重复性和迟滞等，传感器的参数指标决定了传感器的性能以及选用传感器的原则。

（1）传感器的灵敏度 灵敏度是指传感器在稳态工作情况下输出量变化△y对输入量变化△x的比值。它是输出-输入特性曲线的斜率。

K＝dy/dx （1-5）

如果传感器的输出和输入之间为线性关系，则灵敏度K是一个常数，即特性曲线的斜率（见图1-6a）。否则，它将随输入量的变化而变化（见图1-6b）。图1-6中，输入量为F，输出量为U。从数学角度看，输出信号曲线越陡，dy/dx的数值越大，其灵敏度越高。

图1-6 灵敏度

a）非线性灵敏度 b）线性灵敏度

灵敏度的量纲是输出、输入量的量纲之比。(www.xing528.com)

例如，某位移传感器，在位移变化1mm时，输出电压变化为200mV，则其灵敏度应表示为200mV/mm。当传感器的输出、输入量的量纲相同时，灵敏度可理解为放大偌数。

通过提高灵敏度，可得到较高的测量精度。但灵敏度越高，测量范围越窄，稳定性也往往越差。

（2）传感器的线性度 在通常情况下，传感器的实际静态特性输出是一条曲线而非直线。在实际工作中，为使仪表具有均匀刻度的读数，常用一条拟合直线近似地代表实际的特性曲线，线性度（非线性误差）就是这个近似程度的一个性能指标。拟合直线的选取有多种方法。如将零输入和满量程输出点相连的理论直线作为拟合直线；或将与特性曲线上各点偏差的二次方和为最小的理论直线作为拟合直线，此拟合直线称为最小二乘法拟合直线。

图1-7所示的线性度误差的计算公式为

E＝＋Δmax/Y_m×100％ （1-6）

式中，Δmax是实际曲线和拟合直线之间的最大差值；Y_m为量程。

图1-7 线性度

（3）传感器的分辨率 分辨率是指传感器可能感受到的被测量的最小变化的能力。也就是说，如果输入量从某一非零值缓慢地变化，当输入变化值未超过某一数值时，传感器的输出不会发生变化，即传感器对此输入量的变化是分辨不出来的。只有当输入量的变化超过分辨率时，其输出才会发生变化。

通常传感器在满量程范围内各点的分辨率并不相同，因此常用满量程中能使输出量产生阶跃变化的输入量中的最大变化值作为衡量分辨率的指标，上述指标若用满量程的百分比表示，则称为分辨率。

（4）重复性 传感器在输入量按同一方向做全量程多次测试时，所得特性曲线不一致的程度（见图1-8）。重复性误差的计算公式为

E_z＝＋Δmax/Y_m×100％ （1-7）

式中，Δmax是多次测量曲线之间的最大差值（如图1-8中取Δmax¹和Δmax²中的最大值）；Y_m是传感器的量程。

（5）迟滞现象 传感器在正向行程（输入量增大）和反向行程（输入量减小）期间，特性曲线不一致的程度。闭合路径称为滞环。图1-9所示为迟滞性。迟滞性误差的计算公式为

E_max＝＋Δmax/Y_m×100％ （1-8）

式中，Δmax是正向曲线与反向曲线之间的最大差值；Y_m是传感器的量程。

图1-8 重复性

图1-9 迟滞性