三维加工中心坐标系齐次变换优化

如图3-2所示，设P点在原坐标系O₁（X₁，Y₁，Z₁）中的坐标值为（x₁，y₁，z₁），当坐标系O₁（X₁，Y₁，Z₁）沿轴X₁平移x至新坐标系O₂（X₂，Y₂，Z₂）后，则P点在新坐标系O₂（X₂，Y₂，Z₂）中的坐标值（x₂，y₂，z₂）与（x₁，y₁，z₁）的关系可表示为

图3-2 坐标系的坐标变换

式中Trans（x）——表征沿X₁轴平移的平移矩阵。

类似地，沿Y₁轴和Z₁轴的平移矩阵分别为

若O₁坐标系（X₁，Y₁，Z₁）绕X₁轴旋转θ_x后成为O₂坐标系（X₂，Y₂，Z₂），则

式中Rot（θ_x）——绕X₁轴的旋转矩阵：

类似地，绕Y₁轴和Z₁轴的旋转矩阵可分别表示为

在坐标系的坐标变换中，若坐标系O₁（X₁，Y₁，Z₁）先分别沿X₁、Y₁和Z₁轴平移x、y和z，再分别绕X₁、Y₁和Z₁轴旋转θ_x、θ_y和θ_z，则表征O₁（X₁，Y₁，Z₁）经上述平移、旋转后转换到新坐标系O₂（X₂，Y₂，Z₂）之间关系的齐次坐标变换矩阵为

变换矩阵^Y_ZTⁱ分别为

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式中 右上标i——理想（Ideal）状态；

左侧上、下标——从上标坐标系到下标坐标系的变换（后同）；T——坐标变换矩阵。

图3-3 TXYZ型加工中心的坐标系设定

理想状态下主轴和Z轴无相对运动，因此坐标系Z到主轴坐标系S的齐次变换矩阵为单位矩阵，即^Z_STⁱ=I；刀具与主轴固连，因此主轴坐标系S到刀具坐标系T的齐次变换矩阵为单位矩阵，即^S_TTⁱ=I；工件与床身之间无相对运动，因此工件坐标系W到参考坐标系R的齐次变换矩阵为单位矩阵，即^W_RTⁱ=I。

在理想情况下，当机床分别沿X、Y、Z方向移动x、y、z距离时，工件坐标系W到刀具坐标系T的齐次变换矩阵为

可知在理想状态下，刀具坐标系在工件坐标系中的坐标为（x，y，z）。

（2）实际状态（有误差）下各运动轴的转换矩阵 在实际情况下，工作台X轴存在三个移动误差δ_xx、δ_yx、δ_zx，三个转角误差ε_xx、ε_yx、ε_zx，当工作台X移动距离x时，基于小误差假设，根据齐次坐标变换原理，参考坐标系R到工作台X的齐次变换矩阵为

式中Δ_x、Δ_y、Δ_z——刀具实际切削点相对理想切削点的位置误差；

Δε_x、Δε_y、Δε_z——刀具实际切削点相对理想切削点的方向误差。

将式（3-10）、（3-14）、（3-16）代入式（3-15），基于小误差假设并忽略二阶及二阶以上小量，可得TXYZ型数控机床工件坐标系W到刀具坐标系T的误差运动变换矩阵：

从而可得TXYZ型加工中心综合误差模型：