环的概念和性质简介

定义11.19 设R是定义了加法和乘法两种运算的非空集合。如果下列条件成立：

1）R对于加法构成一个交换群。

2）R对于乘法是封闭的。

3）（结合律）对于任意的a、b、c∈R，有

a（bc）=（ab）c

4）（分配律）对于任意的a、b、c∈R，有

a（b+c）=ab+ac，（a+b）c=ac+bc则称R为一个环。

在环R中，加法的单位元称为零元，记为0。

对于任意a∈R的加法逆元称为a的负元，记为-a。

如果对于任意的a、b∈R，环R还满足交换律，即

ab=ba

则称R为交换环。

如果对于任意的a∈R，环R存在一个元素I满足

aI=Ia=a

则称R为有单位元的环。(https://www.xing528.com)

定理11.19 设R是一个环，则

1）对任意a∈R，有a0=0a；

2）对任意a、b∈R，有（-a）b=a（-b）=-ab；

3）对任意a、b∈R，有（-a）（-b）=ab；

4）对任意a、b、c∈R，有a（b-c）=ab-ac，（b-c）a=ba-ca；

5）对任意a_i、b_j∈R，有

【例11-37】 全体整数集合Z称为整数环，它对于普通的加法和乘法构成了一个交换环。

定义11.20 在环R里，若存在元素a≠0，b≠0，但

ab=0则称a是环R的一个左零因子，b是环R的一个右零因子。如果一个左零因子同时又是右零因子，则称它为零因子。

定义11.21 如果一个环R满足下列条件：

1）它是交换环；

2）存在单位元I，且I≠0；

3）没有零因子。则称环R为整环。