群同态与同构简介

定义11.17 设G，G′是两个群，f是G到G′的一个映射，如果对任意的a、b∈G，都有

f（ab）=f（a）f（b）那么f叫做G到G′的一个同态。

如果f是一对一的映射，则称f为单同态；如果f是满映射，则称f为满同态；如果f既是一对一的映射，又是满映射，则称f为同构。

当G=G′时，同态f叫做自同态，同构f叫做自同构。

定义11.18 设G、G′是两个群，如果存在一个G到G′的同构，记作G≅G′。

假设f：G→G′是同构，则

1）由G的单位元e，可得G′的单位元e′=f（e）；反过来，由G′的单位元e′，可得G的单位元e=f^-1（e′）。

2）由G的元素a的逆元a^-1，可得a在G′中的像f（a）的逆元f（a）^-1=f（a^-1）；反过来，由G中元素a在G′中的像f（a）的逆元f（a）^-1，可得G的元素a的逆元a^-1=f^-1（f（a）^-1）。

3）G中的乘积ab可由G′中的乘积f（a）f（b）来得到：ab=f^-1（f（a）f（b））。反过来，G′中的乘积uv可由G中的乘积f^-1（u）f^-1（v）来得到：uv=f（f^-1（u）f^-1（v））。(www.xing528.com)

【例11-35】 加法群Z到乘法群G={gⁿ|n∈Z}的映射f：n→gⁿ是一个同态。

因为对任意的a、b∈Z，有

f（a+b）=g^a+b=g^ag^b=f（a）f（b）所以加法群Z到乘法群G的映射f：n→gⁿ是一个同态。

【例11-36】 设a是群G的一个元素，那么映射

f：b→aba^-1，b∈G是G的自同态。

因为对于任意的b、c∈G，有

f（bc）=a（bc）a^-1=（aba^-1）（aca^-1）=f（b）f（c）