混沌系统理论的分析介绍，

混沌系统是一种高度复杂的非线性动态系统。20世纪60年代人们发现有一些系统，虽然描述它们的方程是确定的，但系统对初值具有极强的敏感性，即初值有极微小的变化，将引起系统不可预测的改变，从物理上看，运动似乎是随机的。这种对初值的敏感性，或者说确定性系统内在的随机性就是混沌。混沌理论产生后，它就与相对论、量子理论一起被誉为20世纪的三大科学革命。它打破了确定理论和随机理论之间的不可逾越的界限，揭示了自然界及人类社会普遍存在的复杂性，是有序和无序的统一，确定与随机的统一。

美国著名的气象学家Lorenz在研究天气预报问题时首先发现了确定方程中出现混沌现象。他将所研究的大气对流模式简化后，得到了如下的三维常微分方程组：

该方程组就是著名的Lorenz方程。固定参数为σ=10，b=8/3，参数r可变，当r变化到大于24.74后系统就进入“混沌区”。对于混沌区内的参数r值，有时定常态是混沌解，即吸引子是奇怪的，有时也可能出现稳定的周期解，在r=28时，动力系统呈混沌态。Lorenz发表的关于混沌的几篇论文成为了研究耗散系统混沌现象的经典文献，为以后的混沌研究开辟了道路。

20世纪70年代，混沌学的研究在多个学科领域同时展开。1971年，法国的D.Ruelle和荷兰的F.Takenes联名发表了著名的论文《论湍流的本质》，在学术界第一次提出用混沌描述湍流形成机理的新观点。1975年，正在美国马里兰大学攻读博士学位的华人李天岩和他的导师J.Yorke联名发表了一篇震动学术界的论文《周期三蕴含着混沌》，这是一个关于混沌的数学定理，定理描述了混沌的数学特征，为以后的一系列研究开辟了方向。1977年，第一届国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。

与其他的复杂现象相比，混沌系统有着自己的特征。

1）对初值的极端敏感性：这是混沌系统的一个主要特征。即使是十分相近的初始值经过系统数次迭代后均会产生很大的差别。这种对初始条件有敏感依赖性的动力学特性也称为蝴蝶效应。(www.xing528.com)

2）内随机性：通常人们习惯把随机性的根源归结于来自系统外部的或者某些尚不清楚的原因的干扰作用，认为如果一个系统不受外来的干扰时不会产生随机性，这就是外随机性。而某些确定系统（已经用确定的微分方程描述）内依然会产生随机性，这种随机性称为内随机性。内随机性是混沌系统产生的根源。一般来说，由于内部随机性的作用，混沌系统具有局部不稳定性和整体稳定性。

3）分维性：分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的相似结构。

4）普适性：普适性是指不同的混沌系统在趋向混沌时表现出来的共同特征，它不以具体的系数以及系统的运动方程而变化。常提到的普适性有两种，即结构普适性和测度普适性。普适性是混沌内在规律的一种体现。

5）标度性：标度性是指混沌运动无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验设备足够精确，总可以在小尺度的混沌区看到有序的运动花样。