深入了解AES加密算法的数学基础

AES中的运算是按字节或4字节的字定义的，并把1字节看成是系数在GF（2）上的次数小于8的多项式，即把1字节看成是有限域GF（2⁸）中的一个元素，把一个4字节的字看成是系数在GF（2⁸）上，且次数小于4的多项式。

在有限域GF（2⁸）上的字节运算中，把b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀构成的1字节看成是系数在（0，1）中取值的多项式

例如把十六进制数23对应的二进制数00100011看成1字节，对应的多项式为x⁵+x+1。

1.多项式加法

在多项式表示中，两个元素的和是一个多项式，其系数是两个元素的对应系数的模2加。

【例4-11】 求23与64的模2加。

【解析】

采用二进制记法： 23→00100011 64→01100100

00100011⊕01100100=01000111→47

或者采用其多项式记法：00100011→x⁵+x+1

01100100→x⁶+x⁵+x²

（x⁵+x+1）+（x⁶+x⁵+x²）=x⁶+x²+x+1→01000111→47

因此，23⊕64=47

显然，该多项式加法与简单地以字节为单位的比特异或是一致的。

2.多项式乘法

有限域GF（2⁸）中两个元素的乘法为模2元域GF（2）上的一个8次不可约多项式的多项式乘法。对于AES这一8次不可约多项式为

m（x）=x⁸+x⁴+x³+x+1

【例4-12】 计算23·64。

由于(www.xing528.com)

所以

即

（x⁵+x+1）（x⁶+x⁵+x²）=x⁷+x⁴+x³ （多项式表示）

00100011·01100100=10011000 （二进制表示）

23·64=98 （十六进制表示）

3.x乘法

把b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀构成的1字节看成是系数在（0，1）中取值的多项式

用x乘以多项式B（x）

如果b₇=0，则

xB（x）=b₆x⁷+b₅x⁶+b₄x⁵+b₃x⁴+b₂x³+b₁x²+b₀x

构成的字节为（b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀0）。

如果b₇=1，则

则构成的字节为（00011011）⊕（b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀0）。

归纳之

对应字节为（000b₇b₇0b₇b₇）⊕（b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀0）

则构成的字节为

（000b₇b₇0b₇b₇）⊕（b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀0）⊕（b₇b₆b₅b₄b₃b₂b₁b₀）