离散时域信号的频谱分析

1）离散时域信号的傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）又称为离散的傅里叶变换（DFT），基本特性是以ejωt作为完备正交函数集对给定序列做正交展开。离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，它能将时域的取样信号变换成频域的取样信号表达形式，对时域中的真实信号进行数字化并完成离散傅里叶变换，便形成信号的频域表示。

前面，已引入了傅里叶级数的复数形式，这里重新写出，但变量稍作变化（周期T变为t，谐波次数n用k代替），即：

现在来研究正弦周期波形。假定可以对它的一个周期进行取样。傅里叶级数可应用于这个取样波形，其不同之处在于时域取样波形不是连续波形。这意味着x（t）将用x（n T）代替，这里，T是取样之间的时间间隔。另一个不同之处是，将结果乘以取样之间的时间间隔T，完成对取样波形离散求和，而不进行积分，因此有：

注意，n的范围选择为0～（N-1），以形成N个取样。这个特定的范围不是强制性的，但它是定义离散傅里叶变换所惯用的。基频f0还是离散频率点之间的间隔。我们将f0重新命名为F，并尽可能地给出相一致的表示符号。最后，离散傅里叶变换通常被定义为N乘以复数傅里叶级数系数，离散傅里叶变换的逆运算，即离散傅里叶逆变换（IDFT）由下式给出：

离散傅里叶逆变换提供了将离散频域信息变回离散时域波形的手段。离散傅里叶变换和离散傅里叶逆变换所具有的特性与相应的连续傅里叶变换十分相似。(www.xing528.com)

2）离散时域信号的频谱特性

（1）离散傅里叶变换的频谱F（ejω）是ω的周期函数，周期为2π，即离散时间序列的频谱是周期性的。

（2）如果离散时间序列是周期性的，在频域内的频谱一定是离散的，反之亦然。

（3）若离散时间序列是非周期的，在频域内的频谱一定是连续的，反之亦然。

连续时间信号傅里叶变换仅仅是了解信号在系统中具有何种特性的一种工具和手段，并不直接用于在测量系统中反映信号的频域表示；DFT是傅里叶变换的离散形式，能将时域中的取样信号变换成频域中的取样信号表达式。将时域中的真实信号数字化后进行DFT，便可实现信号的频谱分析。