平面立体的三视图及形体特征

由于平面立体的表面都是平面， 因此绘制平面立体的三视图， 就可归结为绘制各个表面(棱面)的投影的集合。 由于平面图形由直线段组成， 而每条线段都可由其两端点确定， 因此作平面立体的三视图， 又可归结为其各表面的交线(棱线)及各顶点的投影的集合。

1. 棱柱体

(1)棱柱体的三视图。 图2-49(a)表示一个正三棱柱的投射情况。 棱柱的三角形顶面和底面为水平面， 三个侧棱面(均为矩形)中， 后面是正平面， 其余两侧棱面为铅垂面， 三条侧棱线为铅垂线。 画三视图时， 先画顶面和底面的三面投影、 再画三条侧棱的三面投影。 画完面与棱线的投影后， 即得该三棱柱的三视图， 如图2-49(b)所示。

图2-49　正三棱柱的三视图及表面上的点

(2)棱柱体表面上的点。 在求体表面上点的投影时， 应首先分析该点所在平面的投影特性， 然后再根据点的投影规律求得。 若该表面的投影为可见， 则该点的同面投影也可见； 反之为不可见。

如已知三棱柱上一点M 的正面投影m′ [见图2-49(b)]， 求m 和m″。 因点M 所属平面AEFD 为铅垂面， 其水平投影m 必落在该平面有积聚性的水平投影上。 再根据m′和m 求出m″。 由于点M 属于三棱柱的右侧面， 该棱面的侧面投影不可见， 故m″为不可见。

图2-50 为一些常见的不同位置的棱柱体及其三视图。

图2-50　不同位置的棱柱体及其三视图

(a)正三棱柱　(b)直四棱柱　(c)正四棱柱　(d)正五棱柱　(e)正六棱柱　(f)正六棱柱

由此可总结出棱柱体的形体特征: 棱柱体都由两个平行且相等的多边形底面和若干个与其相垂直的矩形侧面组成； 其三视图的特征是: 一个视图为多边形，其他两个视图均为一个或多个可见或不可见的矩形线框。

2. 棱锥体

(1)棱锥体的三视图。 如图2-51(a)所示为正三棱锥的投射情况。 棱锥由底面△ABC 以及三个相等的棱面△SAB、 △SBC 和△SAC 组成。 底面为水平面， 棱面△SAC为侧垂面， 棱面△SAB 和△SBC 为一般位置平面。 棱线SB 为侧平线， 棱线SA、 SC 为一般位置直线， 棱线AC 为侧垂线， 棱线AB、 BC 为水平线。(www.xing528.com)

画正三棱锥的三视图时， 先画出底面△ABC 的各个投影， 再画出锥顶点S 的各个投影， 连接各顶点的同面投影， 即为正三棱锥的三视图， 如图2-51(b)所示。

(2)棱锥体表面上的点。 正三棱锥的表面有特殊位置平面， 也有一般位置平面。 属于特殊位置平面上点的投影可利用该平面投影的积聚性直接作图； 属于一般位置平面上点的投影可通过在平面上作辅助线的方法求得。

如图2-51 所示， 已知棱面△SAB 上点M 的正面投影m′和棱面△SAC 上点N 的水平投影n， 试求点M、 N 的其他投影。 因棱面△SAC 是侧垂面， 它的侧面投影s″a″(c″)具有积聚性， 因此n″在直线s″a″(c″)上， 再由n 和n″求得n′。 棱面△SAB 是一般位置平面， 过锥顶S 及点M 作一辅助线S Ⅱ[图2-51(b)中即过m′作s′2′， 其水平投影为s2]，然后根据直线上的点的投影特性， 求出其水平投影m， 再由m′、 m 求出侧面投影m″。若过点M 作一水平辅助线ⅠM， 同样可求得点M 的其余两个投影。

图2-51　正三棱锥的三视图及表面上的点

如图2-52 所示为一些常见的不同位置的正棱锥体及其三视图。

图2-52　常见的正棱锥体及其三视图

(a)正三棱锥　(b)正四棱锥　(c)正五棱锥　(d)正六棱锥

由此可总结出正棱锥体的形体特征: 正棱维体由一个正多边形底面和若干个具有公共顶点的等腰三角形侧面组成， 且锥顶位于过底面中心的垂直线上； 其三视图的特征是: 一个视图的外形轮廓为正多边形， 其他两个视图的外形轮廓均为三角形线框。

棱锥体被平行于底面的平面截去其上部， 所剩的部分被称为棱锥台， 简称棱台，如图2-53 所示。

图2-53　棱锥台及其三视图

由此可总结出棱台三视图的形体特征: 一个视图的内、 外轮廓为两个相似的正多边形(分别反映两个底面的实形)， 其他两个视图的外形轮廓均为梯形线框。