气体和液体中的声波特性

在小振幅的情况下，将式（2.7）与式（2.8）线性化近似，得到下面的线性方程：

综合式（2.9）～式（2.11），得到以声压p表示的三维波动方程：

式中　——拉普拉斯算符，它在不同的坐标系下具有不同的形式。

1）气体和液体中的平面波

对于无限均匀流体媒质中的平面波，在直角坐标系中有

设平面波仅沿X方向传播且为单频简谐波，则其波动方程具有以下形式的解：

关于声压空间部分p（x）的常微分方程为

式中　k——角波数，k=ω/c0，该方程为亥姆霍兹公式。

采用特征值解法，并考虑沿X轴正向传播的平面波，则解为

如果将p（t，x）代入波动方程，则可以得到质点速度为

且有

由此得到平面波的声阻抗率表达式：

综上所述，对于均匀无限的媒质，平面波的波前是无数与声线垂直的无限大的平面，并且传播过程中始终保持为平面。实际上，当平面声源尺寸远远大于声波波长时，即可认为在媒质中所传播的为平面波；当声源为球面或者柱面等其他形式但距离足够远时，如果在其波前上截取小的一块面积，也可以将其波看作平面波。在理想媒质中，如不考虑媒质中的声衰减，则平面波的幅度不随传播距离的改变而发生变化。此外，声压p与质点速度同相，这是平面波所特有的现象。

2）气体和液体中的球面波

对于式（2.12），采用中心对称球坐标系的拉普拉斯算符，有

只考虑简谐波和从坐标原点向外传播的球面波，经过与平面波情况类似的推导，所得波动方程的解为

将式（2.15）代入式（2.7），可求出

式中　pm——声压值，pm=jωρA；(www.xing528.com)

um——质点速度幅值，um=；

A——表征振幅的任意参数；

r——波前到圆心的距离。

媒质中如果有球面波传播，其声阻抗率Zs可表示为

其中

式（2.18）表示声阻率，式（2.19）表示声抗率。

3）气体和液体中的柱面波

依据式（2.12），假设有一半径为a的无限长圆柱声源，做柱体径向振荡，在流体媒质中产生柱面波，柱坐标系中的拉普拉斯算符为

只考虑简谐波和外行波，求解波动方程，得到声压表达式为

当kr→∞时，第二类零阶汉克耳函数为

远场声压可简化为

式中　pm——声压幅值，pm=。

相应地，质点速度为

当kr→∞时，第二类一阶汉克耳函数为

远场质点速度简化为

式中　um——质点速度幅值，um=。