消谐模型的数值算法求解优化

传统的数值算法主要包括牛顿迭代法[85]、龙格库塔法和同伦算法等方法。牛顿迭代法简单、求解速度快，但其算法本身及其改进算法对开关角度初值的要求较高，而同伦算法具有很宽的收敛范围和很高的收敛速度，可以保证求解过程的正确性和快速性[86]。

首先引入一个同伦映射，建立一个易求解的方程：

令需要求解的数学模型为：

构造式（3-12）和式（3-13）之间的同伦方程：

式中，D 为a 的定义域。当t＝0 和t＝1 时，a(0)＝a0和a(1)＝a*分别是式（3-12）和式（3-13）的解。同伦方程就是从a0到a*解的轨迹方程。

这里令：

其中：

采用微分法对式（3-15）进行求导得：(www.xing528.com)

整理得：

利用给定的初值a(0)对式（3-18）进行计算，再将求解结果作为牛顿法的初值就可以得到一种速度更快和收敛性更好的算法。

这里以对称CHB 七电平逆变器消除5、7、11、13、17、19、23 和25次谐波作为算例，建立同伦方程如下：

式中，a 是一个为时间的自变量函数。取调制度M＝0.86，对式（3-20）求导得：

由上述分析可知，把给定的初值a(0)代入式中就可以得到一个常微分方程，通过这种转换就可以将非线性方程组求解问题转变为对于常微分方程求解的问题。考虑到对开关角度求解精度的要求，这里采用四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta）进行求解：

式中，h 为步长；xn为自变量；yn为要求的参数。根据式（3-19）求解得到开关角度为a＝[9.901°，17.021°，18.671°，22.143°，26.042°，30.469°，47.512°，50.825°，57.667°]。